卡特兰数，一个特殊的数列。通项公式为：
\[Cat_n=\frac {C_{2n}^n}{n+1} \]从\(0\)开始的前几项为：\(1,1,2,5,14,42,132,\cdots\)，所以有的题可以直接打个表看看（比如这个）
然后是它是怎么推出来的，最主要的就是从\((0,0)\)到\((n,n)\)不穿过直线\(y=x\)的路径计数（不想上图了，可以手画一个）。首先我们随便走的走法就是\(2n\)步里面选\(n\)步向上剩下\(n\)步向右，就是\(C_{2n}^n\)。
然后减去不合法的方案数。我们发现，如果穿过直线\(y=x\)，那必然接触直线\(y=x+1\)。然后我们把第一个接触点之后向右和向上的走法反转，那么它就会走到\((n-1,n+1)\)，走法数显然是\(C_{2n}^{n+1}\)。于是一个公式就是
\[Cat_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1} \]还有一些其他的公式：
\[Cat_n=\frac {Cat_{n-1}(4n-2)}{n+1} \]\[Cat_n=\sum_{i=1}^nCat_{i-1}Cat_{n-i}(n\ge 2) \]最后是一些常用的卡特兰数模型：
- 一个\(01\)串，\(n\)个\(0n\)个\(1\)。使任意前缀中\(0\)的个数不小于\(1\)的个数的方案数为\(Cat_n\)。
- \(n\)个点的有标号二叉树的个数为\(Cat_n\)。
- 一个栈的进栈序列为\(1,2,\cdots n,\)则不同的出栈序列个数为\(Cat_n\)。
- 圆上\(2n\)个点，用\(n\)条线段成对连接，不相交的方案数为\(Cat_n\)。
- 将一个凸多边形剖分成\(n\)个三角形的方案数为\(Cat_n\)。
标签：走法,数为,个数,Cat,2n,卡特兰 来源： https://www.cnblogs.com/gtm1514/p/16653404.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。