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数论——费马小定理

2022-09-03 19:03:20  阅读:49  来源: 互联网

标签:... 费马 数论 定理 质数 2a 3a bmod


简介:

费马小定理(\(Fermat's\) \(little\) \(theorem\))是数论中的一个重要定理,在\(1636\)年提出。

定义:

如果 \(p\) 为质数,且 \(a \bmod p \ne 0\),则有 \(a^{p-1}\bmod p=1\)


\(PS:\)

先证明一个裴蜀定理的引理。

推论:如果 \(a,b\in \mathbb Z^+\),且 \(gcd(a,b)=1\),则 \(0,a,2a,3a...(b-1)a\) 这些数 \(\bmod b\) 的值互不相同。

证明:

假设 \(\exists\) 两个不同的数 \(i*a,j*a(0<j<i<b,i,j \in \mathbb Z^+)\),使 \(ai \bmod b=aj \bmod b\)

则 \(a(i-j) \bmod b=0\),且\(0<i-j<b\)

矛盾


费马小定理证明:

\(∵(1a*2a*3a*...*((p-1)a)) \bmod p =a^{p-1}*(p-1)! \bmod p\)

又 \(∵p\) 为质数,且 \(p \nmid a\),根据上述引理可得:

\(a\bmod p,2a \bmod p,3a \bmod p...(p-1)a \bmod p\)互不相同,且区间为 \([1,p-1]\)

\(∴(a*2a*3a*(p-1)a) \bmod p=(p-1)! \bmod p\)

\(∴(p-1)! \bmod p=a^{p-1}*(p-1)! \bmod p\)

\(∴(p-1) !\equiv a^{p-1}*(p-1)! \pmod p\)

又 \(∵p\) 是质数

\(∴gcd(p,(p-1)!)=1\)

\(∴a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)

证毕


努力学数学 \(ing\)

完结

标签:...,费马,数论,定理,质数,2a,3a,bmod
来源: https://www.cnblogs.com/firephonenix/p/16653315.html

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