一：树状数组定义
望文生义,树状数组就是用树形结构来模拟数组的一种数据结构。
二：图解（纯手绘，难看勿喷）
编辑
C表示从1-k的和，
C[1]=a[1]
C[2]=C[1]+a[2]
C[3]=a[3]
C[4]=C[2]+C[3]+a[4]
C[5]=a[5]
C[6]=C[5]+a[6]
C[7]=a[7]
C[8]=C[4]+C[6]+C[7]+a[8]
C[9]=a[9]
C[10]=C[9]+a[10]
C[11]=a[11]
C[12]=C[10]+C[11]+a[12]
C[13]=a[13]
C[14]=C[13]+a[12]
C[15]=a[15]
C[16]=C[8]+C[12]+C[14]+C[15]+a[16]
三：可解决问题
单点修改，区间求和。
四：为何建立树状数组
我们可以发现树状数组中，一个数直接对应的数最多有logk+1个数，因此我们在求解一个区间和时，可以在O(log n) 内求解出。
五：与线段树的区别
树状数组能解决的问题线段树都能解决，线段树能解决的问题树状数组不一定能解决，但是！！！树状数组更快！！！树状数组更好调试！！！毕竟，能简单点谁不想简单呢。
六：如何查询树状数组子节点
根据上述建树过程我们可以发现，当前点所存的范围是(x-lowbit(x)+1,x)。
那么怎么实现lowbit（）呢？
这需要用到二进制了。
计算机中有源码，反码和补码。
源码就是数据本来对应的二进制数；
正数的反码等于它本身。
正数的补码等于它本身。
例如14=1110
反码：1110
-14的补码：1111
那么他的最低一位1可以油 14&-14。
我们也可以这样想，只要x不为0，那么x必有一位是1，取得他的负数后，最后那些是0的位数都会变为1，再加上1，则会将1都变为0，现在出现的最低一位1就是所求的最低的1，即lowbit()。
由于我们在树状数组中需要经常用到lowbit,因此我们可以将其写为一个函数，以便使用。
int lowbit(x)
{
return x & -x
}
七：如何修改树状数组的值
对于上面的建树过程分析，我们可以发现当前这个数x会涵盖(x-lowbit(x)+1,x)内的元素，因此不难知道，对于每一个x的修改，都会影响到x+lowbit(x)这个数，直到影响到自己设定的最大值。
可以写出add函数
void add(int x,int k)
{
for(int i=x;i<=maxx;i+=lowbit(x)) tr[i]+=k;
}
八：如何求和
继续分析建树过程，我们会发现x不会涵盖x-lowbit(x)的内容，所以我们求和时只需要加上
x-lowbit(x)所涵盖的元素即可。
void sum(int x)
{
int sum=0;
for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) sum+=tr[i];
return sum;
}
九：模板题目：洛谷：P3374 【模板】树状数组 1
1 #include<iostream>
2
3 using namespace std;
4 const int N=5e5+10;
5 int tr[N],n,m;
6
7 int lowbit(int x)
8 {
9 return x & -x;
10 }
11
12 void add(int x,int k)
13 {
14 for(;x<=n;x+=lowbit(x)) tr[x]+=k;
15 }
16
17 int sum(int x)
18 {
19 int sum=0;
20 for(;x;x-=lowbit(x)) sum+=tr[x];
21 return sum;
22 }
23
24 int main()
25 {
26 ios::sync_with_stdio(false);//树状数组题目中数据范围一般都比较大，最好用scanf或者cin加速读入
27 cin.tie(0);
28
29 cin>>n>>m;
30
31 for(int i=1;i<=n;i++)
32 {
33 int x;
34 cin>>x;
35 add(i,x);//在第i个位置加上x
36 }
37
38 while(m--)
39 {
40 int op;
41 cin>>op;
42 int x,y;
43 cin>>x>>y;
44
45 if(op==1) add(x,y);
46 else cout<<sum(y)-sum(x-1)<<endl;//求出1到y和1到x-1的和，相减即为x-y的和
47 }
48 }
模板题，就不需要再做过多解释了吧。
模板题二：洛谷：【模板】树状数组 2
有些小伙伴可能看见这题，就会问了，树状数组不是只能做单点修改吗？
是的，但是我们可以用差分做这题啊！
想一想，1-n的差分加起来不就是n这个数么？有没有恍然大悟的感觉？
我们只需要在第x个位置上加上数据k,再在第y+1个位置上减去k不就能实现求任何一个位置的数了么？
1 #include<iostream>
2
3 using namespace std;
4 const int N=5e5+10;
5 int tr[N],n,m;
6
7 int lowbit(int x)
8 {
9 return x & -x;
10 }
11
12 void add(int x,int k)
13 {
14 for(;x<=n;x+=lowbit(x)) tr[x]+=k;
15 }
16
17 int sum(int x)
18 {
19 int sum=0;
20 for(;x;x-=lowbit(x)) sum+=tr[x];
21 return sum;
22 }
23
24 int main()
25 {
26 ios::sync_with_stdio(false);
27 cin.tie(0);
28
29 cin>>n>>m;
30
31 int last=0;
32 for(int i=1;i<=n;i++)
33 {
34 int x;
35 cin>>x;
36 add(i,x-last);
37 last=x;
38 }
39
40 while(m--)
41 {
42 int op;
43 cin>>op;
44
45 if(op==1)
46 {
47 int x,y,k;
48 cin>>x>>y>>k;
49
50 add(x,k),add(y+1,-k);
51 }
52
53 else
54 {
55 int x;
56 cin>>x;
57 cout<<sum(x)<<endl;
58 }
59 }
60 }
十：拓展内容：
1：求逆序对：洛谷：P1908 逆序对
此题可以用树状数组边插入边求解。
何谓逆序对？就是i<j时,第i个数大于第j个数此类的。
我们可以用树状数组，在这个数的数值的位置加上一代表这个数被加入到了树状数组。（是数值，不是序号！！！）
那么怎么求有多少个逆序对呢？
我们可以用sum(x)求出在x之前有多少个数，可以边add（）边求逆序对，因此第i个数逆序对的数量就等于i-sum(a[i]).
总体逆序对的数量只需要对其求和即可。
但是有一个问题，如果数据过大咋办，我们是不能开这么大的数组的。
这时候就需要用到离散化了。（可以选择的离散方式有很多，这里选择哈希离散）
1 #include<iostream>
2 #include<unordered_map>
3 #include<algorithm>
4
5 using namespace std;
6 const int N=5e5+10;
7 int tr[N],n,a[N];
8
9 inline int lowbit(int x)
10 {
11 return x& -x;
12 }
13
14 inline void add(int x,int k)
15 {
16 for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i]+=k;
17 }
18
19 inline int sum(int x)
20 {
21 int sum=0;
22 for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) sum+=tr[i];
23 return sum;
24 }
25
26 unordered_map<int,int> s;
27 int l=0;
28 inline int get(int x)
29 {
30 if(!s.count(x)) s[x]=++l;
31 return s[x];
32 }
33
34 int b[N];
35 inline void pai()
36 {
37 copy(begin(a),end(a),begin(b));
38 sort(b+1,b+1+n);
39 for(int i=1;i<=n;i++) get(b[i]);
40
41 }
42
43
44 int main()
45 {
46
47 scanf("%d",&n);
48
49 long long ans=0;
50
51 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
52
53 pai();
54
55 for(int i=1;i<=n;i++)
56 {
57 int id=get(a[i]);
58 ans=ans+i-1-sum(id);
59 add(id,1);
60 }
61
62 cout<<ans<<endl;
63 return 0;
64 }
注：由于笔者比较笨，又使用了一次copy函数，导致此题慢了很多。
2 .求树状数组中第k大数
1.二分法：
int find(int x)
{
int l=0,r=maxx+1;
while(l<r)
{
int mid=l+r>>1;
if(sum(mid)<x) l=mid-1;
else r=mid+1;
}
return r;
}
2.二进制法：
int find(int x)
{
int ans=0,cnt=0;
for(int i=20 ;i>=0;i--)//可以随意设置需要的大小，表示从二进制第i为开始
{
ans+=(1<<i);
if(ans>=maxx||cnt+tr[ans]>=x) ans-=(1<<i);//目前的数大于最大值或者已经求出来的个数+当前值对应的数的个数>=自己要求的数则返回
else cnt+=tr[ans];
}
return ans+1;//求出的是第x-1大的数，则ans+1为第x大的数。
}
（学习自acwing和网上大佬）
笔者CSDN：https://blog.csdn.net/qq_69908563/article/details/126669563
洛谷blog:https://www.luogu.com.cn/blog/buqiming/#
标签：10,树状,int,lowbit,笔记,add,数组 来源： https://www.cnblogs.com/buqiming/p/16651271.html
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