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「AGC012F」Prefix Median 题解 (DP)

2022-08-17 09:34:37 阅读：127 来源： 互联网

标签：AGC012F int 题解 Prefix mid ge include mbox 105

题目简介

给定一个长度为 $2n-1$ 的序列 $a$,你可以随意排列 $a$ 中的元素，请求出有多少种不同的序列 $b$，满足

$b$ 的长度为 $n$。
$b_i=\{a_1\ldots a_{2i-1}\}$ 的中位数。

$n\leq 50$。

答案对 $10^9+7$ 取模。

分析

考虑当前已有的序列 $a$ ，每次加入两个数 $x,y$ $(x\ge y)$，中位数 $\mbox{mid}$ 如何变化。

三种情况：

$x\ge y\ge \mbox{mid}$，则新 $\mbox{mid}$ 为 $a$ 中已有的原 $\mbox{mid}$ 的后继；
$\mbox{mid}\ge x\ge y$，则新 $\mbox{mid}$ 为 $a$ 中已有的原 $\mbox{mid}$ 的前驱；
$x\ge \mbox{mid}\ge y$，则新 $\mbox{mid}$ 为 $a$ 中已有的原 $\mbox{mid}$ 不变。

于是我们可以归纳一下 $b$ 的约束条件：

每个位置都有上下界，分别是全部取最大值和全部取最小值产生的中位数；
相邻 $b$ 的变化只能是前驱，后继或者相等，不会跨越两步。即不存在 $j<i$ 使得 $\min{b_{i-1},b_i}< b_j< \max{b_{i-1},b_i}$

看到第一个条件，我们可以将 $a$ 数组排一下序，排序之后，约束变成了：

$a_{n-i+1}\le b_i\le a_{n+i-1}$
不存在 $j<i$ 使得 $\min{b_{i-1},b_i}< b_j< \max{b_{i-1},b_i}$

第一个条件自然满足，考虑 $\texttt{dp}$ 转移第二个条件。

考虑倒推，当我们确定了 $b_i$ 和 $b_{i-1}$ 后，$(b_{i-1},b_i)$ 之间的数字都不能选择。

设 $f(i,l,r)$ 表示当前 $b$ 填了 $i$ 个数（逆推），此时下一次 $b$ 的取值左边有 $l$ 种可能，右边有 $r$ 种可能。

如果新加入的两个数相同，我们视为同一个数。

$AC\ Code$

#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
namespace simpler{//readu,modint
using namespace simpler;
int a[105];
modint<(int)1e9+7>f[2][105][105];
int main(){
    int n=readu(),m=(n<<1)-1;
    for(int i=1;i<=m;++i)readu(a[i]);
    sort(a+1,a+m+1);
    bool cur=0;f[cur][0][0]=1;
    for(int i=n-1;i;--i,cur^=1){
        memset(f[cur^1],0,sizeof f[cur^1]);
        int dl=(a[i]!=a[i+1]),dr=(a[m-i+1]!=a[m-i]);
        for(int l=0;l<=m;++l)
            for(int r=0;r<=m-l;++r)if(f[cur][l][r]!=0){
                f[cur^1][l+dl][r+dr]+=f[cur][l][r];
                for(int j=0;j<l+dl;++j)f[cur^1][j][r+dr+1]+=f[cur][l][r];
                for(int j=0;j<r+dr;++j)f[cur^1][l+dl+1][j]+=f[cur][l][r];
            }
    }
    modint<(int)1e9+7>ans=0;
    for(int l=0;l<=m;++l)
        for(int r=0;r<=m-l;++r)ans+=f[cur][l][r];
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}

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标签：AGC012F,int,题解,Prefix,mid,ge,include,mbox,105
来源： https://www.cnblogs.com/wintersunny/p/16593772.html

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