标签：because frac 导数 cdot lim 乘除 证明 therefore 法则

\[若f( x)g( x)= h(x),求证h'( x)=f'( x)g( x)+ f( x) g '(x ) \]

\[\\ \\ \]

\[即证明[f(x)\cdot g(x)] ' = f '(x)g(x)+ f(x)g '(x ) \]

\[\\ \\ \]

\[h '(x)= \lim_{ Δx \to 0 } \frac { h(x + Δx)- h(x)} { Δx } =\lim_{ Δx \to 0 } \frac{ f(x + Δx)g(x + Δx)- f (x)g(x) } { Δx } \]

\[\\ \\ \]

\[变形:\\ \lim_{ Δx \to 0 }\frac { f(x+ Δx)g(x+) - f(x)g(x+Δx) + f(x)g(x+Δx) - f( x)g( x)} { Δx } \]

\[\\ \\ \]

\[\lim_{Δx \to 0} \frac{ g( x+Δx) [ f(x + Δx)- f(x)] } { Δx } + \frac{ f( x)[ g( x +Δx)- g(x)] } { Δx } \]

\[\\ \\ \]

\[\lim_{ Δx \to 0 }g(x + Δx)f ' (x) + f(x) g ' (x) \]

\[\\ \\ \]

\[\because \lim_{ Δx \to 0 } Δx =0 \]

\[\\ \\ \]

\[\therefore \lim_{ Δx \to 0 } g( x + Δx)= g(x) \]

\[\\ \\ \]

\[\Rightarrow g(x)f'(x)+ f(x)g'(x) \]

\[\\ \\ \]

证明成立

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来源： https://www.cnblogs.com/Preparing/p/16583376.html

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