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筛质数(三种做法)

2022-07-24 00:04:57  阅读:185  来源: 互联网

标签:筛法 int 质数 最小 三种 做法 primes 质因数


通常针对多个数

筛质数

给定一个正整数 $ n $,请你求出 $ 1 \sim n $ 中质数的个数。

输入格式

共一行,包含整数 $ n $。

输出格式

共一行,包含一个整数,表示 $ 1 \sim n $ 中质数的个数。

数据范围

$ 1 \le n \le 10^6 $

输入样例:

8

输出样例:

4

想法

三种筛法:

1. 朴素筛法
2. 埃氏筛法
3. 线性筛法

解法

1. 朴素筛法

时间复杂度:\(O(n\log n)\)

int p1(int n)
{
    int cnt = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!st[i]) cnt ++;// 如果i是质数
        for(int j = i; j <= n; j += i) // 此数所有的倍数都是合数,直接筛掉
            st[j] = true;
    }
    return cnt;
}

2. 埃氏筛法

时间复杂度:\(O(n\log\log n)\)

此时间复杂度很低,如果\(n = 2^{32}\),\(O(\log n)\)的算法复杂度是\(32\),\(O(\log \log n)\)的算法复杂度是\(5\)

朴素筛法是不管你是不是合数是不是质数直接筛,但是那样会有许多重复的操作
事实上,合数不用去筛,因为合数该筛的数,它的因数已经在它前面筛完了

比如一个合数n,他的最小质因数为x,此时有一个数m是n的倍数,但是由于m是n的倍数,n是x的倍数,所以m也是x的倍数,因此,m肯定早已被x筛过了,那么n就无数可筛了

int p2(int n)
{
    int cnt = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!st[i]) // 如果i是质数
        {
            cnt ++;
            for(int j = i; j <= n; j += i) // 此数所有的倍数都是合数,直接筛掉
                st[j] = true;
        }
    }
    return cnt;
}

3. 线性筛法

时间复杂度:\(O(n)\)

用埃氏筛法筛数的时候会重复筛 —— 比如\(24\)既会被\(2\)筛又会被\(3\)筛,所以我们要找到筛掉合数的唯一方法,才能避免重复筛

首先整理思路,一个合数仅会被其最小质因数筛掉,这就是线性筛法中筛掉合数的唯一方法

先看代码:

int p3(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ ) // 统计2-n质数的个数
    {
        if(!st[i]) primes[cnt++] = i; // 如果i是质数,那么就把i放进质数表里面
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) // 从小到大遍历质数表,筛掉合数,直到要筛的合数比n大
        {
            // 在这层循环里,每一次我们要筛掉的合数都是primes[j] * i
            
            // i % primes[j] != 0的情况
            // 此时primes[j]不是i的最小质因数,它小于i的最小质因数,原因见下文[1]
            // 因此primes[j] * i的最小质因数就一定是primes[j],原因见下文[2]
            st[primes[j] * i] = true; // 筛掉
            
            if(i % primes[j] == 0) break;
            // 当primes[j] 就是i的最小质因数时,应该用primes[j]筛完就break,因为后面的质数(primes[j+x])
            // 肯定都大于i的最小质因数primes[j]
            // 这个时候再用后面的质数筛(st[primes[j+x] * i] = true)的时候,
            // 筛的合数肯定就不是用最小质因数筛的了,因为i已经有了最小质因数,
            // 它可以拆解为最小质因数和另一个数的乘积,也就代表这个合数已经被前面的最小质因数筛过了
            // 所以后面的质数对答案都没有贡献,不用考虑
        }
    }
    return cnt;
}

[1]: 为什么 primes[j]不是i的最小质因数,它小于i的最小质因数

A: 因为我们是从小到大枚举质数的,如果枚举到了i的最小质因数,它肯定会被if(i % primes[j] == 0) break; break掉,而此时还没有break,也就是还没有枚举到i的最小质因数,因此primes[j]肯定小于i的最小质因数

[2]: 为什么primes[j] < i的最小质因数时,primes[j] * i的最小质因数就一定是primes[j]

A: 因为\(primes[j] * i\)的最小质因数肯定是\(i\)的最小质因数或者是\(primes[j]\)的最小质因数中的较小者,\(primes[j]\)是个质数,质数的最小质因数就是它本身,再看i的最小质因数,由于\(primes[j] < i\),所以$primes[j]

  • i\(的最小质因数就是\)primes[j]$

模拟:

微信截图_20220512123536.png

最后是三种筛法时间的对比

微信截图_20220512211700.png

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标签:筛法,int,质数,最小,三种,做法,primes,质因数
来源: https://www.cnblogs.com/MoyouSayuki/p/16513617.html

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