公式
拉格朗日插值可以用 \(n+1\) 个点值插出一个 \(n\) 次多项式。对于 \((x_i,y_i)\)，有如下性质：
\[f(x)-y_i\equiv 0\pmod {(x-x_i)} \]显然 \(m_i=\prod _{j\neq i}(x-x_j)\)，\(m_i\) 在模 \(x-x_i\) 意义下的逆为 \(\prod_{j\neq i} (x_i-x_j)\)。根据中国剩余定理：
\[f(x)=\sum_{i=0}^n y_i\prod _{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j} \]这就是拉格朗日插值公式，时间复杂度 \(O(n^2)\)。
一般而言，\((x_i,y_i)\) 是我们自己决定的，所以通常 \(x\) 可以取 \([0,1,2,\cdots,n]\)。此时带入公式：
\[f(x)=\sum_{i=0}^n y_i\frac{1}{(n-i)!(-1)^ii!}\prod _{j\neq i}(k-j) \]对 \(k-j\) 分别求前缀积和后缀积即可。时间复杂度 \(O(n)\)。
有时候我们还需要知道多项式的系数，观察式子，分子部分是好处理的，分母部分相当于：
\[\frac{\prod_{j=0}^n (x-x_j)}{x-x_i} \]考虑到下面只有两项，\(O(n)\) 做多项式除法即可。总时间复杂度 \(O(n^2)\)。
应用
拉格朗日插值通常有两种理解：
- 答案是一个多项式，并且多项式次数较少。此时可以将所求值直接带入多项式。
- 直接维护多项式复杂度太高，使用拉格朗日插值优化。
更一般的，插值法实际上指的是函数系数和参数无关的情况，先待定系数，然后带入特殊的参数构造和系数有关的方程求解系数。详见 CF1119H。
自然数等幂和
给定 \(n,k\)，求解 \(\sum _{i=1}^n i^k\)。\(k\leq 10^6\)。
对应类型一。
对函数 \(\Delta f(n,k)=f(n,k)-f(n-1,k)\) 是一个 \(k\) 次多项式，可以知道原答案是一个 \(k+1\) 次多项式。代入 \(1\sim k+2\) 点值计算，然后使用上面 \(O(n)\) 插值即可。
xzy 讲课题
给定 \(n\) 个点的无向图，边有 \(0,1,2\) 三种颜色，对于每个三元组 \((x,y,z)\) 求出 \(0,1,2\) 颜色数分别为 \(x,y,z\) 的方案数。\(n\leq 50\)。
显然可以不用管 \(z\)，那么考虑 \((x,y)\)。显然可以把边权写成一个二元 GF，然后矩阵树定理求出边权乘积，求出乘积之后再求出系数。这样做是 \(O(n^6)\) 的。考虑拉格朗日插值。不过拉插仅限于一元多项式，所以考虑把指数 \((a,b)\) 压到一个 \(n\) 进制二进制数中，变成 \(a+nb\)，即把 \(0\) 标为 \(x\)，\(1\) 标为 \(x^n\)。此时我们得到了一个次数为 \(n^2\) 的多项式，带入 \(n+1\) 个 \(x\) 解出多项式并还原系数即可。时间复杂度 \(O(n^5+n^4)\)。
标签：拉格朗,系数,插值,多项式,复杂度,笔记,prod 来源： https://www.cnblogs.com/yllcm/p/16497845.html
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