动态规划背包详解——完全背包

2022-07-16 17:00:14 阅读：157 来源： 互联网

上一次我们讲了动态规划的定义以及01背包的算法和代码实现，没读过的请出门左转：https://www.cnblogs.com/YZYc/p/01Pack-Class-YPPAH.html

今天我们继续上一次的内容，讲一讲另外一种背包——完全背包。完全背包的定义其实和01背包十分相似，都是有n个物品，一个体积为m的背包，每个物品都有自己的体积和价值，但是它和01背包不同的是，完全背包每一个物品都可以放无限次，而01背包每个物品只能使用一次。完全背包的建表和查表也和01背包没有太大差异，不过填表的部分还是和01背包不太一样，让我们详细的来看一下完全背包填表的过程。

1.1：版本1 暴力解法O(n³) 注：这种方法在毒瘤数据下会TLE，主要理解思路即可

（1）状态f[i][j]（同【01背包】）：前i个物品，背包容量为j下的最优解（最大价值）。

（2）每一轮循环i都可以看作是对第i件物品的决策——选择多少个第i件物品。

（3）稍微不同的是完全背包允许多次选择一个物品，所以计算状态转移方程时需要枚举选择第i个物品

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 10000;
int v[MAXN];    // 体积 
int w[MAXN];    // 价值 
int f[MAXN][MAXN];  // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值 

int main() 
{
    int n;
    int m;  // 背包体积 
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 0; j <= m; j++) 
        {
            int amount = j / v[i];  // j体积时物品最多能选的次数    
            for(int k = 0; k <= amount; k++) // 枚举选择第i个物品的个数
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);   // 状态转移方程
        }

    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

1.2：版本2 优化时间O(n²)

实际上，我们在计算状态转移方程时不必多一个循环去单独枚举选择第i个物品个数。

状态转移方程如下：

推导过程如下：

我们计算的是前i个物品背包体积为j的最优解f[i][j]，而前i-1个物品的最优解f[i-1][j]在上一轮循环中都已计算完毕，现在我们只需判断选择几个第i种物品得到的价值最大。我们改变一下变量，将j变成j-v，则有：

由以上两个式子就可以得到一个新的状态转移方程：

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v])

我们枚举体积j是从小到大的，那么我们在计算f[i][j]时，f[i][较大体积]总是由f[i][较小体积]更新而来。

最终代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 10000;
int v[MAXN];    // 体积 
int w[MAXN];    // 价值 
int f[MAXN][MAXN];  // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值 

int main() 
{
    int n;
    int m;  // 背包体积 
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> v[i] >> w[i];

    f[0][0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 0; j <= m; j++) 
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];  // 不选第i个物品
            if(j >= v[i])           // 可以选择第i个物品，状态方程见上面推导    
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
        }

    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

（代码来自：https://www.acwing.com/solution/content/1375/）

标签：背包,01,int,详解,MAXN,物品,体积,动态
来源： https://www.cnblogs.com/YZYc/p/FullPack-Class-YPPAH.html

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