标签:right frac 定理 威尔逊 rfloor 3k 质数 left
一、定理内容
当$p$为质数的时候,$(p-1)+1$可以被$p$整除,
也就是$(p-1)!+1$ $\equiv 0$ $(mod$ $p$),即$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p} $
该条件为$p$为质数的充分必要条件
二、证明
当p为完全平方数时:
当p不是完全平方数时:
三、应用
例一:
给定一个正整数$n$,求$n-1)! mod n$的值。
数据范围:$2<=n<=1e9$
考虑n为质数与不为质数两种情况: 当 n 为素数时,这个就是威尔逊定理,答案为n-1; 当n不为素数时,我们在证明威尔逊定理的充分性时,已经对它进行了一个分类: 当n=4时,结果为 2; 否则,可以根据 完全平方数 和 非完全平方数,均得到结果为 0。例一思路
例二:
给定$n$的值,用下面的公式求$S_n$,公式中的[ ]指的是向下取整。
数据范围:$t<=1e6,1<=n<=1e6$
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解:
看到$\frac{(n-1)!+1}{n}$ $-$ $\left \lfloor \frac{(n-1)!}{n} \right \rfloor }$的形式,就应该联想到威尔逊定理
根据$3k+7$的性质分别计算
当$3k+7$为质数,根据威尔逊定理得:,即$(3k+6)!+1$可以被$3k+7$整除
设$\frac{(3k+6)!+1}{3k+7} = x$,则原式为$\left\lfloor x- \left \lfoor x - \frac{1}{3k+7} \right \rfloor \right \rfloor = 1$($\left \lfoor x - \frac{1}{3k+7} \right \rfloor = x-1$)
当$3k+7$不是质数时,$k>=1$,所以$3k+7>4$,根据威尔逊定理的证明得,,即$\frac{(3k+6)!}{3k+7}$一定为整数
设$\frac{(3k+6)!}{3k+7} = x$,则$\lfloor \lfoor x - \frac{1}{3k+7} \rfloor - x \rfloor = \left \floor x - x \right \rfoor = 0$
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