标签：19 bmod 矩阵 卷积 异或 CF1270I 2022 CF1637H oplus

每天都要能选出至少三道有意义的题，这样才算没有摆。

本地记录的话容易鸽掉，就放博客上了。（我博客是不是没啥人看啊）

001 CF1270I Xor on Figures

我们定义两个矩阵 \(A,B\) 的异或卷积 \(C\) 为：

\[C_{a,b}=\oplus_{(u+i)\bmod 2^k=a}\oplus_{(v+j)\bmod 2^k=b}A_{u,v}B_{i,j} \]

我们发现将所有操作放到一个矩阵 \(P\) 上，再令关键位置形成的矩阵为 \(Q\)，那么我们需要 \(P\times Q=A\)。

可以证明，在异或卷积下，矩阵 \(A\) 存在逆元，其值为 \(A^{2^k-1}\)。

那么我们就是要求 \(A\times P^{2^k-1}\)，但矩阵快速幂的时候暴力实现异或卷积肯定过不了。

发现 \(P^2\) 只有 \((2x_i\bmod 2^k,2y_i\bmod 2^k)\) 有值，因为 \(((x _i+x_j)\bmod 2^k,(y_i+y_j)\bmod 2^k)\) 会被 \((x_i,y_i),(x_j,y_j)\) 计算一次，\((x_j,y_j),(x_i,y_i)\) 计算一次，抵消了。

于是 \(P^{2^l}\) 也只有 \(O(t)\) 个位置有值，我们异或卷积的时候取这些位置出来计算即可，复杂度 \(O(4^kkt)\)。

#include<stdio.h>
const int maxn=1<<9;
int n,k,ans,m;
struct matrix{
	unsigned long long a[maxn][maxn];
	inline unsigned long long* operator [](const int &x){
		return a[x];
	}
	matrix operator *(matrix p){
		matrix res;
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<n;j++)
				res[i][j]=0;
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<n;j++)
				if(p[i][j])
					for(int u=0;u<n;u++)
						for(int v=0;v<n;v++)
							res[(u+i)%n][(v+j)%n]^=p[i][j]*a[u][v];
		return res;
	}
}A,B;
int main(){
	scanf("%d",&k),n=1<<k;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			scanf("%llu",&A[i][j]);
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1,x,y;i<=m;i++)
		scanf("%d%d",&x,&y),B[x-1][y-1]=1;
	for(int i=0;i<k;i++)
		A=A*B,B=B*B;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			ans+=(A[i][j]!=0);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

002 CF1637H Minimize Inversions Number

标签：19,bmod,矩阵,卷积,异或,CF1270I,2022,CF1637H,oplus
来源： https://www.cnblogs.com/xiaoziyao/p/16390391.html

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