二分图概念与判定
定义：对于无向图 \(G=(V,E)\)，若存在将 \(V\) 划分成两个不相交子集 \(A,B\) 的方案，使得 \(A,B\) 的点导出子图都不含边，则称 \(G\) 为二分图，\(A,B\) 为 \(G\) 的两部。
这即是说，\((u,v)\in E\rightarrow (u\in A,v\in B)\lor (u\in B,v\in A)\) 。
由此，我们也可以用二染色来定义二分图：二分图是可以被二染色的图。
这里存在一个小性质：若二分图 \(G=(V,E)\) 包含 \(C\) 个连通分量，则其二染色的方案为 \(2^C\)，这是因为每个连通分量恰有两种染色方法。
下面给出二分图的一个性质和判定定理：
定理：图 \(G=(V,E)\) 为二分图，当且仅当 \(G\) 中不存在长度为奇数的圈。
证明：
若 \(G\) 中存在长度为奇数的圈，设环上点依次为 \(v_1,\ldots,v_{2n-1}\)，使得 \(v_i\) 与 \(v_{i+1}\) 为邻居（\(v_{2n}=v_1\)），考虑这个环的二染色情况，易知 \(v_1,v_3,\ldots,v_{2n-1}\) 同色，则 \(v_1\) 和 \(v_{2n-1}\) 是一对相邻的同色点，不符合二染色的定义，故必要性得证。
当 \(G\) 中不存在长度为奇数的圈时，考虑每一个连通分量，以任意点为根求出一棵生成树，由于不存在奇环，所以任一条非树边连接的两个顶点深度不同奇偶，考虑将所有深度为奇数的点染为黑色，深度为偶数的点染为白色，这就得到了一种二染色方案，故充分性得证。
推论：二分图 \(G=(V,E)\) 的任意子图为二分图。
推论：无向图 \(G=(V,E)\) 是二分图当且仅当其每个连通分量都是二分图。
根据上面的定理和证明过程，我们可以得到判定给定无向图是否是二分图的算法：
- 设给定的图为 \(G=(V,E)\)，由第二条推论，只需分别判定 \(G\) 的每个连通分量是否是二分图。
- 对于 \(G\) 中的一个连通分量，对其进行 \(\text{DFS}\)，求出一棵搜索树并记录每个点的深度，遇到返祖边时，判定这条边两端点的深度是否同奇偶，如果同奇偶则 \(G\) 不是二分图，若对于所有返祖边都有两端点深度不同奇偶，则 \(G\) 是二分图。
- 在实现时，只需要记录每个点深度的奇偶性，事实上这等价于模拟对 \(G\) 进行二染色的过程。
- 时间复杂度为 \(O(|E|)\) 。
标签：二分,奇偶,连通,染色,网络,深度,分量 来源： https://www.cnblogs.com/A-Quark/p/16369481.html
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