标签：26 NOIP int ll dp 连通 模拟 ans 欧拉
好毒瘤啊
目录A. LCIS
蓝书原题，CF10D 弱化版
首先直接把 LIS 和 LCS 合起来设计一个 DP .
设 \(dp_{i,j}\) 表示 \(A_{1\dots i}\) 和 \(B_{1\dots j}\) 的以 \(B_j\) 结尾的 LCIS，则：
\[dp_{i,j}=\begin{cases}\displaystyle \max_{k<j, B_k<B_j}\{dp_{i-1,k}\}&A_i=B_j\\dp_{i-1,j}&A_i\neq B_j\end{cases} \]这样是 \(O(n^3)\) 的，肯定过不去 .
然而因为 \(A_i=B_j\)，我们可以把上面那个带 max 的转移里 \(B_j\) 换成 \(A_i\)，这样可以发现当 \(i\) 一定时 max 只增不减，于是用一个变量记录一下，这样就是 \(O(n^2)\) 的了 .
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 3456, INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
int n, a[N], b[N], dp[N][N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", a+i);
for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", b+i);
for (int i=1, val; i<=n; i++)
{
val = 1;
for (int j=1; j<=n; j++)
{
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if (a[i] > b[j]) chkmax(val ,dp[i-1][j] + 1);
if (a[i] == b[j]) chkmax(dp[i][j], val);
}
}
int ans = 0;
for (int i=1; i<=n; i++) chkmax(ans, dp[n][i]);
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
B. 物流运输
30pts，，，，然而写法好像和其他人的不太一样，先放着
C. tree
gugugu
D. 建造游乐园
正睿原题
显然题目等价于 \(n\) 点欧拉图个数乘上 \(\dbinom n2\) .
令 \(f_n\) 表示 \(i\) 个点的欧拉图数量，\(g_n\) 表示 \(n\) 个点度为偶数的无向图数量 .
众所周知图存在欧拉回路当且仅当没有奇点 .
于是考虑加一个点，容斥掉不连通的
如果原图存在一个欧拉子图，那么 \(i\) 必然要连另外一方面，因为要保持性质，\(i\) 必须连奇点，于是就不连通了（\(i\) 连所有奇点） .
\(g_n\) 显然等于 \(2^{\tbinom{n-1}2}\)（钦定 \(n-1\) 个点随便连，剩下那个点用来平衡奇度点），于是递推式就是
\[f_n=g_n-\sum_{i=1}^{n-1}f_ig_{n-i}\dbinom{n-1}{i-1} \]DP，\(O(n^2)\) .
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 2222, INF = 0x3f3f3f3f, P = 1e9+7;
typedef long long ll;
int n;
ll C[N][N], f[N], g[N];
ll qpow(ll a, ll n)
{
ll ans = 1;
while (n)
{
if (n&1) ans = ans * a % P;
a = a * a % P; n >>= 1;
} return ans;
}
int main()
{
C[0][0] = 1;
for (int i=1; i<N; i++)
{
C[i][0] = 1;
for (int j=1; j<=i; j++) C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % P;
}
scanf("%d", &n);
for (int i=1; i<=n; i++) g[i] = qpow(2, C[i-1][2]);
for (int i=1; i<=n; i++)
{
f[i] = g[i];
for (int j=1; j<i; j++) f[i] = (f[i] - f[j] * g[i-j] % P * C[i-1][j-1] % P + P) % P;
} printf("%lld\n", f[n] * C[n][2] % P);
return 0;
}
下面说一下 \(O(n\log n)\) 做法 .
让我们快进到 DP .
zero4338 是一眼看穿了这题的做法的 .
首先一个关键点：度数都为偶数的图可以分成若干个欧拉图，于是欧拉图计数完全等价于连通图计数 .
考虑 exp 的组合意义，因为普通图可以划分成若干个连通图 , 所以普通图是连通图的 exp , 连通图就是普通图的 ln .
根据快进了的 DP 环节，我们知道连通图的方案数就是 \(g_n\) .
所以令 \(f_n\) 的 EGF 为 \(F(z)\)，\(g_n\) 的 EGF 为 \(G(z)\)，则
\[F=\ln G \]\(G\) 可以线性预处理，一次多项式 \(\ln\) 求出 \(F\)，\(O(n\log n)\) .
然而不得不谈的是模数是 \(10^9+7\)，我们仔细探讨一下过程，发现这个是完全依赖于任意模数多项式乘法的，直接 MTT 即可，还是 \(O(n\log n)\) .
然而这个带标号欧拉图计数就是 OEIS A033678 .
标签：26,NOIP,int,ll,dp,连通,模拟,ans,欧拉 来源： https://www.cnblogs.com/CDOI-24374/p/16357167.html
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