拉格朗日动力学-学习笔记

2022-05-19 23:03:41 阅读：221 来源： 互联网

拉格朗日动力学

拉格朗日力学的推导：

单摆问题：

单摆系统中，如果直接对张力，重力进行分析，可得如下关系式：

$$ \left\{\begin{array}{l} -T \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=m \ddot{x} \\ m g-T \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=m \ddot{y} \end{array}\right. $$ 在这个系统中,T无法求到，但是有存在几何约束 $x^{2}+y^{2}=l^{2}$ ，将这三个方程连立起来可以得到一个式子，但是不好求解出方程。

原因就是上面两个式子都是基于牛顿第二定律的分量式，原本是各自独立，引入约束后就杂糅在一起了。

当我们换一种思路，不用绝对的X,Y进行系统建模，而是引入一个角 $\theta$ :

这个时候就很好在牛顿定律下建立系统垂直方向上的平衡关系：
$$
-m g \sin \theta=m \dot{v}=m l \ddot{\theta}
$$
对于一般单摆，角度较小的时候，可以近似化简后得到：
$$
\ddot{\theta}+\frac{g}{l} \theta=0
$$
对于有约束力的问题，选取合适的广义坐标代替直角坐标，就可以避免约束力带来的麻烦。

虚位移问题：

在时间和空间位置确定的情况下，虚位移是符合约束条件的任意无穷小位移，用符号 $\delta \vec{r}$ 表述

虚位移是为了消除约束力带来的麻烦（假设约束力不做功的前提下）：

在一个刚性杆系统中，存在下列约束：

$(\overrightarrow{r_{1}}-\overrightarrow{r_{2}})^{2}=l^{2}= Const$ 。

对这个方程进行一次微分运算，可以得到0，所以中推出：

$2\left(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}\right)\left(\delta \vec{r}_{1}-\delta \vec{r}_{2}\right)=0$

刚性杆对小球的作用力是等大反向的：

$\delta W=\overrightarrow{N_{1}} \cdot \delta \overrightarrow{r_{1}}+\overrightarrow{N_{2}} \cdot \delta \overrightarrow{r_{2}}$

$=\lambda(\overrightarrow{r_{1}}-\overrightarrow{r_{2}}) \cdot(\delta \overrightarrow{r_{1}}-\delta \overrightarrow{r_{2}})$

根据约束方程，这个系统总虚功为0

所以可以假设力学系统所受的理想约束力的总虚功为0

达朗贝尔原理

对于一个系统：

$\vec{F}+\vec{N}=m \ddot{\vec{r}}，$

F为质点所受主动力，N为该质点所受理想约束力。

消去约束力，对等式两边均乘虚位移 $\delta \vec{r}$ ，得：

$\vec{F} \cdot \delta \vec{r}+\vec{N} \cdot \delta \vec{r}=m \ddot{\vec{r}} \cdot \delta \vec{r}$

由理想约束的性质， $\vec{N} \cdot \delta \vec{r}=0$

得到： $(\vec{F}-m \ddot{\vec{r}}) \cdot \delta \vec{r}=0$

推广到多质点系统：

$\sum_{i=1}^{n}\left(\vec{F}_{i}-m_{i} \ddot{\vec{r}}_{i}\right) \cdot \delta \vec{r}_{i}=0$

这个就是达朗贝尔原理。

当在无约束条件下，质点之间无相互影响，所以虚位移相互独立，因此 $\vec{F}_{i}-m_{i} \ddot{\vec{r}}_{i} \equiv 0$ 就推导出了牛顿第二定律

达朗贝尔是分析力学的基本原理，并且在平衡态下，有：

$\sum_{i=1}^{n}\left(\vec{F}_{i}-m_{i} \ddot{\vec{r}}_{i}\right) \cdot \delta \vec{r}_{i}=0$

这个就是虚功原理

在复杂系统中，虚位移还是可能带来很大困扰，但是可以通过将其改造成可独立：

$x_{1}=l_{1} \sin \theta_{1}$ , $y_{1}=l_{1} \cos \theta_{1}$ , $x_{2}=l_{1} \sin \theta_{1}+l_{2} \sin \theta_{2}$ , $y_{2}=l_{1} \cos \theta_{1}+l_{2} \cos \theta_{2}$

建立起直角坐标和广义坐标的定量关系。

这样子虚位移就可以用相互独立的广义坐标定量表示

拉格朗日方程

对于一个n个质点的力学系统，存在q个约束力

在三维空间中，就有 3n 个坐标，独立坐标个数为 3n-q

$d \vec{r}_{i}=\frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{1}} d q_{1}+\frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{2}} d q_{2}+\cdots+\frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{s}} d q_{s}+\frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial t} d t$

转换成求和以及符号：

$\delta \vec{r}_{i}=\sum_{\alpha=1}^{s} \frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}} \delta q_{\alpha}+\frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial t} \delta t$

虚位移是不需要时间的，可以消去最后一项：

$\delta \vec{r}_{i}=\sum_{\alpha=1}^{s} \frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}} \delta q_{\alpha}$

带入达朗贝尔原理，可以得到：

$\sum_{i=1}^{n}\left(\left(\overrightarrow{F_{i}}-m_{i} \ddot{\vec{r}}_{i}\right) \cdot \sum_{\alpha=1}^{n} \frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}} \delta q_{\alpha}\right)=0$

将求和号交换下次序，可以得到：

$\sum_{\alpha=1}^{s}\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\vec{F}_{i}-m_{i} \ddot{\vec{r}}_{i}\right) \cdot \frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}}\right) \delta q_{\alpha}=0$

由于虚位移都是互相独立的，可消去外面的项

$\sum_{i=1}^{n}\left(\vec{F}_{i}-m_{i} \ddot{\vec{r}}_{i}\right) \cdot \frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}}=0$

剩下的这个项，第一项是主动力，这一项保留，定义为广义力：

$Q_{\alpha}=\sum_{i=1}^{n} \vec{F}_{i} \cdot \frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}}$

第二项进行化简：

尽可能的从标量入手，从动能入手：

$T=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} m_{i} \dot{\vec{r}}_{i}^{2}$ 。

这里只存在一阶，原项中是二阶，因此要尽可能对原来二阶导进行降阶：

$\sum_{i=1}^{n} m_{i} \ddot{r}_{i} \cdot \frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}}=\frac{d}{d t}\left(\sum_{i=1}^{n} m_{i} \dot{\vec{r}}_{i} \cdot \frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}}\right)$ $-\sum_{i=1}^{n} m_{i} \dot{\vec{r}}_{i} \cdot \frac{d}{d t} \frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}}$

通过引入拉格朗日关系：

$\frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}}=\frac{\partial \dot{\vec{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{\alpha}}$ 和 $\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial}{\partial q_{\alpha}} \vec{r}_{i}\right)=\frac{\partial}{\partial q_{\alpha}}\left(\frac{d}{d t} \vec{r}_{i}\right)$ 。

带入后可得

$\sum_{i=1}^{n} m_{i} \ddot{\vec{r}_{i}} \cdot \frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}}=\frac{d}{d t}\left(\sum_{i=1}^{n} m_{i} \dot{\vec{r}_{i}} \cdot \frac{\partial \dot{\vec{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{\alpha}}\right)$ $-\sum_{i=1}^{n} m_{i} \dot{\vec{r}}_{i} \cdot \frac{\partial}{\partial q_{\alpha}}\left(\frac{d}{d t} \vec{r}_{i}\right)$

为往 $T$ 去凑，整理一下符号的顺序，可得到

$\sum_{i=1}^{n} m_{i} \ddot{\vec{r}}_{i} \cdot \frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}}=\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_{\alpha}}\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} m_{i} \dot{\vec{r}_{i}}^{2}\right)$ $-\frac{\partial}{\partial q_{\alpha}}\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} m_{i} \dot{\vec{r}_{i}}^{2}\right)$

所以最终，就可以得到：

$\sum_{i=1}^{n} m_{i} \ddot{\vec{r}}_{i} \cdot \frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}}=\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\alpha}}-\frac{\partial T}{\partial q_{\alpha}}$ 。

将这一项回代入上面的式子：

$\sum_{i=1}^{n}\left(\overrightarrow{F_{i}}-m_{i} \ddot{\vec{r}_{i}}\right) \cdot \frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}}=0$

可根据定义的Q，得到：

$Q_{\alpha}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\alpha}}+\frac{\partial T}{\partial q_{\alpha}}=0$

移项得到：

$\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\alpha}}-\frac{\partial T}{\partial q_{\alpha}}=Q_{\alpha},(\alpha=1,2, \cdots, s)$

这个就是一般情况下的拉格朗日方程，其中， $T$ 为体系总动能， $q_{\alpha}$ 为广义坐标， $\dot{q}_{\alpha}$ 为广义速度， $Q_{\alpha}$ 为广义力。

广义动量 $P_{\alpha}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\alpha}}$

当系统的主动力全是保守力的时候：

$Q_{\alpha}=-\frac{\partial U}{\partial q_{\alpha}}$

将其带入拉格朗日方程可得：

$\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\alpha}}-\frac{\partial T}{\partial q_{\alpha}}=-\frac{\partial U}{\partial q_{\alpha}}$

简化后，可得：

$\frac{d}{d t} \frac{\partial(T-U)}{\partial \dot{q}_{\alpha}}-\frac{\partial(T-U)}{\partial q_{\alpha}}=0$

令 $L=T-U$ （拉格朗日函数)，可得保守体系下完整系统的拉格朗日方程：

$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}-\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}=0$

完整约束和非完整约束

几何约束，顾名思义，对物体状态的约束体现在几何上，事实上我们之前提到过的约束的例子，都属于几何约束。

可从达朗贝尔原理出发，经过一系列的求解、化简，最终得到了完整系统的拉格朗日方程。

在机器人中的应用

在机器人力学系统中，拉格朗日函数定义如下：

L(q,q˙)=K(q,q˙)−P(q)

L为拉格朗日函数

K为整个系统的动能

P为系统势能

含外力的欧拉-拉格朗日方程

标签：拉格朗,方程,系统,动力学,笔记,约束,虚位移,约束力
来源： https://www.cnblogs.com/liaozhelin/p/16290585.html

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