标签：dots AtCoder 连通 比赛 记录 fft 个数 mathcal dp

ARC 140

打得很烂。Rank 590，Performance 1696。

D - One to One

每个点都有恰好一个出边，所以这是一个外向基环森林。因此连通块数就等于环的个数，我们只需要求出所有方案中环的个数的总和。直接算比较难办，考虑算每个环对答案的贡献。

首先，假如忽略掉 \(A_i=-1\) 的连通块，剩下的环是一定存在的，可以预先加到答案里。然后，观察到任意一个点数为 \(k\) 的、由 \(A_i=-1\) 的连通块组成的环，都会出现在 \(n^{c-k}\) 种方案里，其中 \(c\) 是 \(A_i=-1\) 的 \(i\) 的个数。接下来就是要计算出，对于所有 \(k=1,2,\dots,c\)，点数为 \(k\) 的环有多少个。

假如我们任取 \(k\) 个 \(A_i=-1\) 的 \(i\)，并设它们所在的连通块大小为 \(s_1,s_2,\dots,s_k\)，那么这 \(k\) 个连通块可以组成 \((k-1)!\prod_{i=1}^k s_i\) 种不同的环，且这些环的大小都是 \(k\)。所以，可以直接 dp（或者分治 fft）算出环的个数，并求出答案。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^2)\)（dp）或者 \(\mathcal{O}(n\log^2 n)\)（分治 fft）。

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来源： https://www.cnblogs.com/alan-zhao-2007/p/atcoder-contest.html

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