标签：mathbb 需证 frac 不等式 ln 均值 cdot ge 广义
广义均值不等式（默认数域为 \(\mathbb R\)）：
\(\forall a_i>0\)，\(r_1,r_2\neq 0\)，\(r_1<r_2\)，均有
首先证明 \(n=2\) 时的情况。令 \(c=\frac{a_1}{a_2}\)，则原式等价于：
\[(\frac{1+c^{r_1}}{2})^{\frac{1}{r_1}}\le(\frac{1+c^{r_2}}{2})^\frac{1}{r_2} \]我们考虑函数 \(f\)
\[f(x)=(\frac{1+c^x}{2})^\frac{1}{x} \]需要注意的是该函数的定义域为 \(\mathbb R-\{0\}\)。再考虑其对数函数 \(g\)
\[g(x)=\ln f(x)=\frac{1}{x}\ln\frac{1+c^x}{2} \]只需证 \(g\) 单调不减即可。对 \(g\) 求导，有
\[g'(x)=-\frac{1}{x^2}\ln\frac{1+c^x}{2}+\frac{1}{x}\cdot\frac{2}{1+c^x}\cdot\frac{c^x\ln c}{2}\\ =-\frac{1}{x^2}\ln\frac{1+c^x}{2}+\frac{1}{x}\cdot\frac{c^x\ln c}{1+c^x}\\ =\frac{1}{x}(-\frac{1}{x}\ln\frac{1+c^x}{2}+\frac{c^x\ln c}{1+c^x})\\ =\frac{1}{x}(-\ln(\frac{1+c^x}{2})^{\frac{1}{x}}+\ln c^{\frac{c^x}{1+c^x}}) \]对于 \(x>0\) 和 \(x<0\) 分别证明 \(g'(x)\ge0\)。当 \(x>0\) 时，\(\frac{1}{x}>0\)，只需证
\[c^{\frac{c^x}{1+c^x}}\ge(\frac{1+c^x}{2})^{\frac{1}{x}}\\ \iff ({c^{\frac{c^x}{1+c^x}}})^{x(1+c^x)}\ge{(\frac{1+c^x}{2})^{\frac{1}{x}}}^{x(1+c^x)} \\ \iff ({c^x})^{c^x}\ge(\frac{1+c^x}{2})^{1+c^x}\\ \]令 \(t=c^x\)，则上式等价于 \(t^t\ge(\frac{1+t}{2})^{1+t}\)。设 \(h(t)=t\ln t-(1+t)\ln (\frac{1+t}{2})\)。只需证 \(h(t)\ge 0\)。求导即有
\[h'(t)=\ln t+1-(\ln\frac{1+t}{2}+(1+t)\cdot\frac{2}{1+t}\cdot\frac{1}{2})\\ =\ln t-\ln\frac{1+t}{2}\\ =\ln\frac{2t}{1+t}\\ =\ln(2-\frac{2}{1+t}) \]不难发现，\(h(t)\) 在区间 \((0,1)\) 上单减，在区间 \([1,\infty)\) 上单增。又注意到 \(h\) 的定义域为 \((0,\infty)\)，因此 \(h(1)=0\) 为 \(h\) 的全局最小值。故 \(c^{\frac{c^x}{1+c^x}}\ge(\frac{1+c^x}{2})^{\frac{1}{x}}\)，即在 \(x>0\) 时，\(g\) 单调不减。
如果 \(x<0\) 又如何？这时，\(\frac{1}{x}<0\)，而在用 \(t\) 换元前，对不等式左右两侧同时 \(x(1+c^x)\) 次幂时不等号需要变号；其余过程与上类似。至此，我们证明了广义均值不等式在二元时的情况。
现在考虑将其扩展至 \(n\) 元。我们采用 反向归纳法。先证明 \(\forall m\in\mathbb Z^+,n=2^m\) 时广义均值不等式成立。
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