1 1.对于L,R； 2 找到最大的R，使得[n/l]=[n/r]; 3 n/r>=[n/r]-->r<=n/[n/r] 4 <<=>> 5 r<=n/[n/l]; 6 7 2. 8 [[n/x]/y]=[n/xy] 9 10 3.杜教筛 11 i >= 1 && i <= n j >= 1 && j <= n 12 求它们的互质对数 13 令f(n)=它们的互质对数； 14 f(n)=n^2-不互质对数 15 即f(n)=n^2-(∑(i,j)=d) d从2->n; 16 对于i,j他们gcd=d，则I，J互质；且I,J<=[n/d]; 17 即等价求I,J,在[n/d]下的互质对数，子问题； 18 所以f(n)=n^2-∑f(n/d) ;复杂度是O(n^3/4); 19 能优化到O(n^2/3)； 20 当n<=n^2/3时用线性筛，大于用递归，递归复杂度是o(3/4) 0.75； 21 22 23 24 数论函数：定义域是整数的函数 ； 25 积性函数:(a,b)=1，有f(a,b)=f(a)*f(b); 26 f(n)=f(p1^e1)*...*f(pk^ek)； 27 28 29 莫比乌斯函数 30 31 u(n) 当 n有平方因子 u(n)=0，也就是n=pk^ek, ek>=2; 32 当n=1,u(n)=1; 33 当n=p1..pk时，u(n)=(-1)^k； 34 35 迪利克雷卷积（适用于数论函数）有交换律，分配律，结合律； 36 形如h=f*g; //*是卷积符号不是乘法 37 h(n)=∑f(d) x g(n/d),d|n;这是x乘法 ，*这里代表卷积符号； 38 39 若f(n)=1,f*f f卷f 40 f*f=n的因子个数 ∑f(d)xf(n/d) 41 所以h(n)=∑f(d)xf(n/d) 42 43 2.若id(n)=n,f(n)=1, 44 则h(n)=∑1xn/d =因子之和 45 46 f,g是积性函数，则f*g也是积性函数 47 f*g=f(d)xg(n/d)显然如果f,g为积性函数，则能展开 48 49 莫比乌斯反演 50 f(n)=∑g(d),d|n //f=g*1; 51 能推出g(n)=∑f(d) x u(n/d),d|n ； //g=f*u 52 53 证明； 54 f*u=g*1*u; 证明(1*u)=e；其中e， e(n)，当n=1时，e(n)=1,n≠1时，e(n)=0； 55 证明1*u=∑u(d) ,d|n ，考虑n=p1^e1..pk^k；有k种因子；则由莫比乌斯u函数知道，只有1次因子才会被统计 56 即，∑u(d) ∑(-1),(c,k,i)=0 =(1-1)^k；证毕； 57 等价于f*u=g*e=g； 58 即g(n)=f*u证毕；
标签：函数,分块,积性,乌斯,杜教,反演,因子,莫比,卷积 来源： https://www.cnblogs.com/matt-su/p/16127864.html
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