标签：LGP2291 log 质数 sqrt 素数 区间 复杂度

尝试用一个极其奇怪的算法草过去

首先知道答案是 \(p^q\) 的形式，我们枚举这个 \(q\)。当 \(q=2\) 时一定能在 ll 范围内搜出解，所以可以知道 \(q\leq 64\)，而且当 \(q\) 过大时可选的值也很少。

考虑 \(q=2\)，是最麻烦的一部分。考虑在 \(\sqrt{n}\) 附近确定一段区间，这段区间中有恰好 \(k\) 个质数。

我们知道素数密度是 \(O(\ln n)\)，所以这个区间的长度一定是 \(O(k\ln n)\) 级别的。长度可以保守估计按照 5e6 来算。

现在的问题就是求出一个 5e6 的区间中有哪些数是质数。区间筛直接莽即可。

\(q=3\) 时，值域缩小到了 \(10^6\)，可以直接暴力筛出 \(2\times 10^6\) 中的素数然后暴力判断。

复杂度？\(18\) 以内除去 \(2,3\) 只有 \(5\) 个素数，实际上当 \(q=5\) 时，时间的影响就已经远不如 \(q=2\) 了。

复杂度是 \(O(k\log n\log\log n+\sqrt[4]{n}+\sqrt[3]{n})\)。

最后我们会得到 \(O(k)\) 个数，要在这里面寻找第 \(k\) 大的数很容易。

看上去很怪？实际上应该是比较稳的。

如果还觉得不稳的话，可以将 \(q\geq 5\) 时的数打表出来。

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来源： https://www.cnblogs.com/lmpp/p/16085088.html

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