标签：子树 一个点 题解 texttt 那么 lca CF613D 节点

\(\texttt{Solution}\)

我们考虑 \(\mathcal O(nq)\)怎么做

我们可以发现如果一个点是关键节点，那么这个点下面的关键节点是一定要删去的，如果这个点不是关键节点，那么如果他下面有两个以上的关键节点，把他传到上面去再把这个点删掉只会更劣不会更优，而如果只有一个关键节点，传到上面去只会更优不会更劣，那么直接把这个点标记成关键节点上传就好了。

那么是否所有的点都是有用的呢，我们可以发现，所有非 \(\texttt{lca}\) 的点都是一定不会去选择的，因为他不可能下面有两个关键节点，选了他只会更劣而不会更优。

而建立一棵只有 \(\texttt{lca}\) 的树的方法其实就是虚树的构造方法。

有一种极其简单构造方法：

我们把关键点按照 \(\texttt{dfn}\) 排序，相邻点的 \(\texttt{lca}\) 丢进去，再排序，每个点在虚树上的父亲就是自己和前驱的 \(\texttt{lca}\)

\(\texttt{Proof:}\)

首先证明一个伞兵结论，任意多个点直接的 \(\texttt{lca}\) 一定是他们中任意两个点之间的 \(\texttt{lca}\) 中的一个。

首先我们假设原来只有 \(n\) 个点，然后记他们的 \(\texttt{lca}\) 为 \(K\)，然后现在新加进来一个点 \(x\)，如果他在 \(K\) 的子树下，那么总的 \(\texttt{lca}\) 还是 \(K\)，如果他不在 \(K\) 的子树内，那么这个新的点都不在他们共同点的子树内，也一定不在这 \(n\) 个点的子树内，且这 \(n\) 个点向上跳到 \(K\) 都不行，那么一定会在向上跳，于是就一定是这个新的点与原来的 \(n\) 个点的 \(\texttt{lca}\) 中的一个。

然后我们再证明排序之后，相邻两个点的 \(\texttt{lca}\) 一定包含了所有需要用到的 \(\texttt{lca}\)。

根据结论 \(1\) 我们可以知道，一个点会被计入当且仅当，有两个点在他的不同子树内，那么我们根据 \(\texttt{dfn}\) 序的性质，一定是把这棵子树遍历完再遍历其他的树，那么如果存在两个点分属两个子树，一定存在一次是一棵子树遍历完了，要到另外一个子树的过程，而前面一棵子树的 \(\texttt{dfn}\) 序最大的那个点，和后面那个子树 \(\texttt{dfn}\) 序最小的那个点，一定是相邻的，所有我们一定会把所有需要用的 \(\texttt{lca}\) 求出来。

那么现在我们事实上已经将所有要用的点找出来了，那么只要验证树的构造的正确性就可以了。

如果排序之后两个点是相邻的，那么一种情况是后面一个点是前面一个点的子节点，这种情况显然是后面一个点要连向前面一个点，一种情况是跳到另外一个子树，那么要是这两个点连起来的，或者说使这两棵树连起来，就一定要使他们两个的 \(\texttt{lca}\) 连向后面一个点。

标签：子树,一个点,题解,texttt,那么,lca,CF613D,节点
来源： https://www.cnblogs.com/oieralbedo/p/16070182.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。