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[笔记] 线性基

2022-02-16 15:35:23 阅读：203 来源： 互联网

标签：lim LL rfor 笔记查询异或 ans 线性

用处

快速查询一个数是否可以被一堆数异或出来
快速查询一堆数可以异或出来的最大 / 最小值
快速查询一堆数可以异或出来的第 \(k\) 大值

性质

原数列里的任何一个数都可以通过线性基里的数异或表示出来
线性基里任意一个子集的异或和都不为 \(0\)
一个数列可能有多个线性基，但是线性基里数的数量一定唯一，而且是满足性质一的基础上最少的。

实现

构造

void insert(LL x){
	rfor(i, lim, 0) if(x & (1LL << i)){
		if(a[i]) x ^= a[i];
		else{ a[i] = x; break; }
	}
}

查询一个元素是否可以被异或出来

bool check(LL x) {
	rfor(i, lim, 0) if(x & (1LL << i)) x ^= a[i];
	return x == 0;
}

查询异或最大值

按位贪心.

LL askmax() {
	LL ans = 0;
	rfor(i, lim, 0) if(ans < (ans ^ a[i])) ans ^= a[i];
	return ans;
}

查询异或最小值

一般来说就是线性基里的最小元素，特判 \(0\).

LL askmin() {
	if(zero) return 0;
	lfor(i, 0, lim) if(a[i]) return a[i];
}

查询异或第 \(k\) 小

重建线性基，使得不同位尽量不相互影响。

void rebuild() {
	rfor(i, lim, 0) rfor(j, i - 1, 0) if(a[i] & (1LL << j)) a[i] ^= a[j];
	lfor(i, 0, lim) if(a[i]) p[++cnt] = a[i];
}

类似树状数组二分第 \(k\) 小，同样特判 \(0\).

LL kth(int k) {
	LL ans=0;
	rfor(i, lim, 0) if(k & (1LL << i)) ans ^= p[i];
	return ans;
}

查询排名

与查询第 \(k\) 小类似.

int rank(LL x) {
	LL ans = 0;
	rfor(i, cnt - 1, 0) if(x >= p[i]) ans += (1LL << i), x ^= p[i];
	return ans + zero; 
}

题目

[WC2011]最大XOR和路径

从 \(1-n\) 的最大XOR和路径可以看作任意一条从 \(1-n\) 的路径异或上若干个环。

[CQOI2013]新Nim游戏

分析出答案的补集就是线性基。

[SCOI2016] 幸运数字 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3292
[BZOJ3811] 玛里苟斯 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3811
[BZOJ2844] albus就是要第一个出场 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2844
[HDU2949] XOR https://vjudge.net/problem/HDU-3949

标签：lim,LL,rfor,笔记,查询,异或,ans,线性
来源： https://www.cnblogs.com/Callis/p/15900745.html

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