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数学知识——质数筛

2022-02-07 18:33:15 阅读：518 来源： 互联网

标签：return int 质数数学知识 pj primes 质因数

一：判定质数以及分解质因数

1.试除法判定质数O（sqrt（n））：

　　质数是除1和本身以外，不能被任何数整除的数。

　　试除法判定 m 是否为质数的过程：

　　　　1.先特判 m==2 和 1 的情况

　　　　2. for 循环从 i = 2 遍历到 m / i ，如果期间有 i 能整除 m ，则不是质数。如果循环结束了，则证明m是质数。

　　为什么遍历到m/i，而不是m：

　　　　因为24=2*12，循环到2的时候已经可以判断24不是质数，没必要再循环到12。（节省时间）

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 bool isprimes(int m)
 5 {
 6     if(m==2)return 1;
 7     if(m==1)return 0;
 8     for(int i=2;i<=m/i;i++)
 9     {
10         if(m%i==0)return 0;
11     }
12     return 1;
13 }
14 
15 int main()
16 {
17     int n;
18     cin>>n;
19     for(int i=1;i<=n;i++)
20     {
21         int m;
22         cin>>m;
23         if(isprimes(m))puts("Yes");
24         else puts("No");
25     }
26     
27     
28     return 0;
29 }

试除法判定质数

2.六倍筛法O（sqrt（n）/3）：

1 bool Is_prime(int n)
2 {
3     if(n==1) return false;
4     if(n==2||n==3) return true;
5     if(n%6!=1&&n%6!=5) return false;
6     for(register int i=5;i*i<=n;i+=6)
7         if(n%i==0||n%(i+2)==0) return false;
8     return true;
9 }

六倍筛法

3.试除法分解质因数：

　　质因数定义：质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。

　　正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘（如8 = 2 * 2 * 2 ）

　　试除法分解质因数过程：

　　　　1.特判m==1的情况

　　　　2.for循环从2到m/i，期间如果有i能整除m，就while循环求出m能整除i的几次方，过程中就是在不断分解m

　　　　3.循环结束后，如果m>1，则单独输出m （比如7）

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 void divide(int m)
 5 {
 6     if(m==1)cout<<m<<" "<<m<<endl;
 7     for(int i=2;i<=m/i;i++)
 8     {
 9         if(m%i==0)
10         {
11             int cnt=0;
12             while(m%i==0)
13             {
14                 cnt++;
15                 m/=i;
16             }
17             if(cnt)cout<<i<<" "<<cnt<<endl;
18         }
19     }
20     if(m>1)cout<<m<<" 1"<<endl;
21     puts("");
22 }
23 
24 int main()
25 {
26     int n;
27     cin>>n;
28     for(int i=1;i<=n;i++)
29     {
30         int m;
31         cin>>m;
32         divide(m);
33     }
34     
35     
36     
37     return 0;
38 }

试除法分解质因数

二：各种质数筛

1.埃氏质数筛法O(nloglogn)：

　核心思想：只枚举质数的倍数

　埃氏质数筛的过程：

　　　　1.特判m==1

　　　　2.for循环从2遍历到m

　　　　　　如果st [ i ] 为0（说明 i 是质数），cnt++（计数）

　　　　　　for循环 j 从 i 到小于 m 的值，进制为 i 的乘数，将 j 标记 st [ j ] = 1（ i 的倍数都不是质数，直接排除）

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int N=1e6+100;
 5 int primes[N],cnt;
 6 bool st[N];
 7 void get_primes(int m)
 8 {
 9     if(m==1)cnt=0;
10     for(int i=2;i<=m;i++)
11     {
12         if(!st[i])
13         {
14             primes[cnt++]=i;
15             for(int j=i*2;j<=m;j+=i)st[j]=1;
16         }
17 
18     }
19     
20 }
21 
22 int main()
23 {
24     int n;
25     cin>>n;
26     get_primes(n);
27     cout<<cnt<<endl;
28     
29     
30     
31     return 0;
32 }

埃氏筛

2.欧拉筛O(n)：

　　核心思想：让每个合数只被最小质因数筛

　　关键点：　

for(int j=0;primes[j]<=m/i;j++)
{
　　st[primes[j]*i]=1;
　　if(i%primes[j]==0)break;
}

　　　　1.当i%primes [ j ]==0时，证明primes [ j ]是i的最小质因数，那么pj也是i*pj的最小质因数

　　　　2.当i%primes [ j ]！=0时，证明primes [ j ]小于i的最小质因数，但pj仍是i*pj的最小质因数

　　　　根据1和2得：无论pj是否能整除i，pj都是i*pj得最小质因数，而欧拉筛就是利用最小质因数来筛掉合数的，所以当循环到pj时，pj就是pj*i的最小质因数，一定会把pj*i给筛掉

　　　　就是st[primes[j]*i]=1;这一步啦

　　　　3.因为欧拉筛利用的是最小质因数筛掉合数，且for循环是递增的，所以当i能被pj整除说明pj就是i的最小质因数，而p [ j + 1 ]就大于i的最小质因数了，不应该循环到这一步。

　　　　就是if(i%primes[j]==0)break;这一步啦

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int N=1e6+100;
 5 int primes[N],cnt;
 6 bool st[N];
 7 void get_primes(int m)
 8 {
 9     if(m==1)cnt=0;
10     for(int i=2;i<=m;i++)
11     {
12         if(!st[i])primes[cnt++]=i;
13         for(int j=0;primes[j]<=m/i;j++)
14         {
15             st[primes[j]*i]=1;
16             if(i%primes[j]==0)break;
17         }
18 
19     }
20     
21 }
22 
23 int main()
24 {
25     int n;
26     cin>>n;
27     get_primes(n);
28     cout<<cnt<<endl;
29     
30     
31     
32     return 0;
33 }

欧拉筛

标签：return,int,质数,数学知识,pj,primes,质因数
来源： https://www.cnblogs.com/wellerency/p/15868807.html

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