标签：推导 Quaternion 矩阵 图形学 旋转 四元 Unity 向量

一、2D中向量旋转公式推导

已知向量(x，y)旋转θ角之后得到向量(x',y')

如下图所示

这时我可以看到的是信息是

旋转后的向量与之前的向量长度r它是不变的

第一个向量所具有的信息是

旋转后的向量所具有的信息是

根据三角函数公式

将此关系式拆开就可以得到

最后可以得到

写成矩阵形式

二、从局部空间变换到世界空间SRT矩阵中R的推导记忆

我这里是unity的左手坐标系，所以接下来我都用左手定则来阐述

首先我们先看，绕z轴的3维坐标变换

z坐标保持不变，旋转x、y坐标，这可不就是我们上面推导的二维坐标系的旋转公式吗

这样我们可以直接得到

除了y轴旋转有点不同，x轴与z轴都是在相应位置的二维旋转变换

那么为什么y轴会不同

看旋转方向

绕z轴旋转，是从x轴开始，绕原点逆时针旋转（你也可以想成x叉乘y，正好等于z轴）

绕x轴旋转，是从y轴开始，也绕原点逆时针旋转（你也可以想成y叉乘z，正好等于x轴）

可是绕y轴旋转，是从x轴开始，绕原点逆时针旋转（x叉乘z，等于-y）

所以相当于把角度向反方向旋转，这就等于了绕y轴旋转，旋转矩阵不同的记忆方法

害，之前硬啃《Unity Shader入门精要》的时候没多想，直接硬记，果然这些东西还是自己有能力推一遍会更加深刻吧

三、绕任意轴旋转矩阵

在图形学中，我们经常会遇到绕轴旋转的问题，这里先记录下欧拉角公式里的绕任意轴旋转

下面是我学习笔记，思路可能结果和思路都有可能出错，不代表绝对，仅供参考。

​

假设一个向量n（0，0，1），并将它看作旋转轴，再假设一点v（x，y，z），绕n向量（轴），旋转θ角，得到v’（x1，y1，z1）.

首先我先找到它们共有的信息：

显然||v||模是等于||v’||模的.

根据向量加减，我们可以得到
（向量v等于水平方向v//加竖直方向v⊥）

由这张图我们可以想到，，那么我们先求出向量
是向量v投影到向量n的长度再乘于**单位向量n **得到的。

非常好，我已经得到一个已知量了，只要再求个v'⊥就可以了，
我们不妨求个垂直于v//与v'⊥的向量w


根据
这些都是我们已知的了，代入方程式1；

自此我们得到了x基向量v'⊥
很好，再来求个y基向量也就是向量w，我们就可以知道旋转后的v'⊥
根据方程式2：

同轴同向叉乘无意义，最后得

完事了，最后将方程填完就可以得到v'⊥了

仅供参考

四、Unity中解决万向节锁

1、首先什么是万向节锁1、首先什么是万向节锁

按我的理解就是，正常情况直接使用transform.localEulerAngles是没问题的，但是根据Unity的zxy的旋转规则，当你是先绕x轴（pitch俯仰）旋转90度后，这时再去单独旋转y(Yaw偏航)，和单独旋转z，效果都是绕z轴(Roll桶滚)旋转,这就不是我们要的结果了。

然后解决的办法就是用四元数(Quaternion)

2、什么是四元数

这个我推荐去b站搜四元数

3、结论

通过了解与实际操作后，将欧拉角带入unity四元数Quaternion.Euler（）中即可。

Unity官方文档关于Quaternion的描述：
https://docs.unity3d.com/ScriptReference/Quaternion.html

本人之前在搞摄像机跟随旋转视角和人物转向的时候踩过一次坑，之后通过各种资源知道了用四元数，所以在这按自己的想法记录下，同时也推荐朋友们去了解，共同进步

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来源： https://www.cnblogs.com/Ariaaaaaa/p/15856018.html

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