标签：cnt 背包 二进制 18 int P1776 序列 拆分 物品
题目描述：
解题思路：
根据题意知此题为多重背包裸题，即每个物品至多可以选 m m m 次的背包题目。
世上背包千千万，无一不是
01
01
01 背包的变体，多重背包亦是如此。
**若第
i
i
i 个物品的数目为
m
i
m_i
mi ，我们可以将一种物品视作
m
i
m_i
mi 个物品，第
j
j
j 个物品的重量以及价值都是原物品的
j
j
j 倍。**在此基础上我们可以直接进行
01
01
01 背包。
for (int i=1;i<=n;i++) //枚举物品种数
for (int j=V;j>=w[i];j--) //枚举背包承重量
for (int k=1;k<=m[i]&&k*w[i]<=j;k++) //枚举选取单个物品的数量
f[j]=max(f[j],f[j-k*w[i]]+k*v[i]); //转移
同样，我们亦可将每种物品至多选 m m m 次视作单种物品存在 m m m 个，这样总物品数就变成了 ∑ i = 1 n m i \sum_{i=1}^{n} m_i ∑i=1nmi。
cnt=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a>>b>>m[i]; //输入单个物品的价值，重量，个数
for (int j=1;j<=m[i];j++)
{
cnt++;
v[cnt]=a; //视作 m 个物品依次存好
w[cnt]=b;
}
}
这确实是多重背包裸的解法，但是本题的数据规模有亿点大，所以我们考虑在多重背包的思路上加亿点优化。
普遍优化多重背包的方法有两种
- 单调队列
- 二进制
这里我们选择用二进制优化。
二进制拆分：
普遍处理多重背包的办法就是对物品数 m i m_i mi 进行如下转换：
物品数：18 \\序列一
转换为：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 //序列二
意思是把一个数量为
18
18
18 的物品转换为
18
18
18 个数量为
1
1
1 的物品，然后01背包。
我们观察两个序列，能够发现，序列一与序列二之所以能够互换，是因为序列二中的元素可以构成任何一个序列一中的元素，也就是说
18
18
18 个
1
1
1 可以构成
1
⋯
18
1\cdots 18
1⋯18 的所有数字。
也就是说，我们只需要构造出一个可以组成
1
⋯
18
1\cdots 18
1⋯18 中所有数字的序列三，并使它的长度尽量的短，就形成了优化。
这里要用到一个大家耳熟能详的原理，二进制拆分。即每一个整数都能表示成一组不出现重复的二的整数次幂的和。
也就是说，
1
⋯
18
1\cdots 18
1⋯18 中的数字可以由
2
0
⋯
2
3
,
(
18
−
2
4
+
1
)
2^0\cdots 2^3,(18-2^4+1)
20⋯23,(18−24+1) 来构成，即构成
1
⋯
18
1\cdots 18
1⋯18 的最短序列三为1,2,4,8,3
若要构成 1 ⋯ n 1\cdots n 1⋯n 的所有数字，设 p p p 表示 2 0 + 2 1 + 2 2 + ⋯ + 2 p < = n 2^0+2^1+2^2+\cdots +2^p<=n 20+21+22+⋯+2p<=n 的最大 p p p，我们亦能够用 2 0 ⋯ 2 p , ( n − 2 p + 1 + 1 ) 2^0\cdots 2^p,(n-2^{p+1}+1) 20⋯2p,(n−2p+1+1) 来构成序列三，选取序列三的数加起来可以得到任何一个小于 n n n 的正整数。
可以证明这种二的整数次幂的序列的长度为 l o g n log_n logn ，是所有能构成 1 ⋯ n 1\cdots n 1⋯n 的序列中最短的。
我们亦能用这种办法表示所有物品的可选数目：
2 0 ∗ w i , 2 1 ∗ w i , 2 2 ∗ w i ⋯ 2 p ∗ w i , ( n − 2 p + 1 + 1 ) ∗ w i 2^0*w_i,2^1*w_i,2^2*w_i\cdots 2^p*w_i,(n-2^{p+1}+1)*w_i 20∗wi,21∗wi,22∗wi⋯2p∗wi,(n−2p+1+1)∗wi
通过这个序列，我们可以构造出所有小于 w i ∗ m i w_i*m_i wi∗mi 的可被 w i w_i wi 整除的数，也就可以构成取物品的每种方案。
明白了这种二进制拆分优化，我们可以最少的数字来构造出选择物品的数目，原本需要枚举 n n n次，现在仅需 l o g n log_n logn 次，大大提高了算法效率。
CODE：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,V,a,b,v[1000010]={0},w[1000010]={0},m,cnt=0;
int f[10000010]={0};
int main()
{
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a>>b>>m;
int j;
for(j=1;m-j>=0;j<<=1) //二进制拆分优化
{
cnt++;
v[cnt]=a*j;
w[cnt]=b*j; //存储序列三
m-=j;
}
if(m)
{
cnt++;
v[cnt]=a*m;
w[cnt]=b*m;
}
}
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
for(int j=V;j>=w[i];j--)
{
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
}
}
cout<<f[V];
return 0;
}
标签：cnt,背包,二进制,18,int,P1776,序列,拆分,物品 来源： https://blog.csdn.net/SAI_2021/article/details/121728338
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