标签：lceil 12445 颜色 NFLSOJ int sqrt 相邻 NOIP2021 rceil
小清新人类思维构造题，CSP 前写篇题解（谁是鸽王？）
首先考虑如果不存在 \(01\) 个数不等这一条件如何处理，显然我们只需按 __builtin_parity 填数即可，这样显然所有与其相连的点的颜色都与其不同。
接下来思考原题。注意到我们随便填数大概率是符合“\(01\) 不等”这一条件，但不一定符合相邻点中与其颜色不同的点数 \(\le\lceil\sqrt{n}\rceil\) 这一条件，而上面的构造方法符合“相邻点中不存在与其颜色不同的点”这一条件，但不符合“\(01\) 不等”这一条件，因此考虑采取一个“平衡的思想”将二者结合起来，这也就是题目中 \(\lceil\sqrt{n}\rceil\) 的来头。
我们设阈值 \(B=\lceil\sqrt{n}\rceil\)，然后将全部 \(n\) 位每 \(B\) 个元素划分为一段，然后对于 \(i\in[0,2^n-1]\)，我们在第 \(i\) 位上填上 \([\text{存在一块} x\text{，满足} i\text{这一块中的位上全是}1]\)，这样一来，设 \(c\) 表示 \(i\) 全是 \(1\) 的块的个数，如果 \(c\ge 2\)，那么不论翻转那一位，都存在一块中的位全是 \(1\)，因此与 \(i\) 相邻的点全是 \(1\)，与其相邻的颜色不同的点数为 \(0\)。如果 \(c=1\)，显然只有翻转全是 \(1\) 的块中的任意一位后，才可以得到颜色为 \(0\) 的点，否则得到的点的颜色还是 \(1\)，因此与 \(i\) 相邻的颜色不同的点数恰好为 \(B\)。如果 \(c=0\)，那么在每一块中最多翻转一位才可能得到颜色为 \(1\) 的点，因此与 \(i\) 相邻的颜色不同的点数至多为 \(\lceil\dfrac{n}{B}\rceil=B\)。
上述构造解决了与其相邻的颜色与其不同的点数 \(\le\lceil\sqrt{n}\rceil\) 的构造，如果是相同又如何构造呢？其实非常 trivial，只要将 builtin_parity 为 \(1\) 的点的颜色翻转即可。
const int MAXN=22;
int n,st[MAXN+2];
int main(){
freopen("unequal.in","r",stdin);
freopen("unequal.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
int blk_sz=(int)ceil(sqrt(n)),blk_cnt=(n-1)/blk_sz+1;
for(int i=0;i<n;i++) st[i/blk_sz]|=(1<<i);
for(int i=0;i<(1<<n);i++){
int ret=0;
for(int j=0;j<blk_cnt;j++) ret|=(st[j]&i)==st[j];
ret^=__builtin_parity(i);
printf("%d",ret);
}
return 0;
}
标签：lceil,12445,颜色,NFLSOJ,int,sqrt,相邻,NOIP2021,rceil 来源： https://www.cnblogs.com/ET2006/p/NFLSOJ-12445.html
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