欧拉函数
定义
欧拉函数表示 再[1,n-1],这个闭区间中和n互质的的数字的个数。
通式
φ(x)=x* (1-1/p1)* (1-1/p2)* (1-1/p3)* (1-1/p4)……(1-1/pn)
性质
- 若n为质数 有 phi[n]=n-1
- 当a,b互质时,phi[a*b]=phi[a]*phi[b](a,b 不一定是质数)
- 当p是质数,n=kp时,phi[n*p]=phi[n]*p
欧拉函数的求法
单个欧拉函数值的求法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4;
int getphi(int n)
{
int phi=n;//记得初始化
if(n==1||n==0)return 0;//特判0 1
for(int i=2;i<=n/i;i++)
{
if(n%i==0)
{
while(n%i==0)n/=i;
phi=phi/i*(i-1);//定义式 每分解出一个质因数就将原值乘以i/(i-1)
}
}
if(n!=1)phi=phi/n*(n-1);
return phi;
}
int main()
{
int n;
while(cin>>n)
{
cout<<getphi(n)<<endl;
}
return 0;
}
筛法求欧拉函数
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
vector<int> prime;
int phi[N];
bool st[N];
void getphi(int n)
{
memset(st, 1, sizeof st);
for (int i = 2; i <= n; i++)
{ //遍历区间内所有值
if (st[i])
prime.push_back(i), phi[i] = i - 1; //性质1
for (int j = 0; j < prime.size() && prime[j] <= n / i; j++)
{
int p = prime[j];
st[p * i] = 0;
if (i % p == 0)
{ //i 和 p的位置不要搞反
phi[p * i] = phi[i] * p; //性质3
break;
}
phi[i * p] = phi[i] * (p - 1); //性质2+性质1
}
}
}
int main()
{
int n;
getphi(N);
while (cin >> n, n)
{
cout << phi[n] << endl;
}
return 0;
}
逆元
取模运算法则
(a + b) % p = (a%p + b%p) %p (对)
(a - b) % p = (a%p - b%p) %p (对)
(a * b) % p = (a%p * b%p) %p (对)
(a / b) % p = (a%p / b%p) %p (错)
为解决除法取模 ,提出取模意义下的‘倒数’也就是逆元。
逆元的定义
a*x ≡ 1 (mod p)
上式表示在模p的环境下 ,a的逆元是 x。
显然,ax-1|p
所以,ax-1=kp
即, ax-kp=1
由于k的任意性, ax+kp=1
如此得到逆元的等价定义式,求逆元即求上不定方程的解
假若得到逆元 , 就可以得到mod意义下的除法公式
(a / b) % p = (a%p * inv( b )%p) %p (对)
逆元存在的冲要条件
根据贝祖定理 ,ax+by=c 有解的条件是k*gcd(a,b)=c
及c必须是gcd(a,b)的整数倍
再考虑逆元的定义是ax+by=1 显然 gcd(a,b)=1。所以ab互质。
也就是说,在mod p环境下 a 的逆元存在的冲要条件是 p和 a 互质。
逆元求法
扩欧求逆元
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b)
{
x=1,y=0;
return;
}
exgcd(b,a%b,x,y);
int tmp=x;
x=y;
y=tmp-a/b*y;
}
int main()
{
int x,y;
int a,p;
cin>>a>>p;
exgcd(a,p,x,y);
cout<<(x%p+p)%p<<endl;//取最小正整数解
return 0;
}
费马小定理+快速幂求逆元
表述
a ^ (p-2) ∗ a%p = 1
即 inv(a)=a^(p-2)%p
成立条件
求a在环境p下的逆元,需要:
- gcd(a,p)=1//逆元存在条件
- p为素数//费马成立条件
代码实现
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int spow(int a, int b, int mod)
{
int ans = 1;
a %= mod;
while (b)
{
if (b & 1)
ans = (a * ans) % mod;
a = (a * a) % mod;
b >>= 1;
}
return ans % mod;
}
int getinv(int a, int mod)
{
return spow(a, mod - 2, mod) % mod;
}
signed main()
{
int a, p;
cin >> a >> p;
int inv=getinv(a,p);//不用再处理,已经是最小正整数解了
cout << inv << endl;
return 0;
}
以上两种求单个数的逆元方法的时间复杂度均为O(logN)
标签:phi,a%,函数,int,逆元,ax,欧拉,mod 来源: https://blog.csdn.net/weixin_58110654/article/details/119464420
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