标签：power 小步 varphi 算法 BSGS LL mod

BSGS 大步小步算法

\(Baby~Step, Giant~Step\)，大步小步算法（轻量级算法，求解高次同余方程）。

思路

先上例题：给定整数 \(a,b,p\)，其中 \(\mathbf{a,p}\) 互质，求一个非负整数 \(x\)，使得 \(a^x\equiv b\pmod p\)

朴素算法概述：

考虑一个暴力算法，在 \(\bmod~p\) 的意义下，\(a^x\) 显然有一个长度为 \(\varphi(p)\) 的循环节，所以只需要考虑 \(x\le varphi(p)\) 的情况即可。

暴力枚举 x 求解，时间复杂度 \(O(\varphi(p))\)，最坏 \(O(p-1)\)

而 \(BSGS\) 则运用类似于 拆半搜索 的思想，将 x 表示成 \(i\times t - j\) 的形式。

于是原式 \(\to a^{i\times t}\equiv b\times a^{j}\pmod p\)

固定 t 的值，预处理出右式所有可能的取值。

枚举计算左式可能的值，当枚举到某个在右边已经出现过的值时，此时 \(i\times t - j\) 就是我们要求的 x。

t 的取值：

\(j\) 的取值为 \(\varphi(p) \bmod t\) 共计 \(t-1\) 个，\(i\) 的取值有 \(\lceil\frac{\varphi(p)}{t}\rceil\) 个。

\(t\) 取 \(\sqrt{\varphi(p)}\) 时有最优复杂度（最平均），但为避免计算 \(\varphi(p)\)，近似取 \(t=\sqrt{p}\) 即可。

时间复杂度 \(O(\sqrt{p})\)

练习题目

可爱的质数/[模板]BSGS

模板。

class BSGS{
public:
    LL mod, a, b, t, power;
    std::unordered_map<LL, LL> hash;
    BSGS(LL _a, LL _b, LL _mod){a = _a, b = _b, mod = _mod, t = std::ceil(std::sqrt(mod)) + 1, power = 1;};
    LL bsgs()
    {
        for (LL j = 0; j < t; j++)
            hash[b * power % mod] = j, power = power * a % mod;
        LL res = power;
        for (LL i = 1; i <= t; i++)
        {
            auto iter = hash.find(power);
            LL val = iter != hash.end() ? iter->second : mod;
            if (val != mod)
                return i * t - val;
            power = power * res % mod;
        }
        return -1;
    }
};
int main()
{
    BSGS work(/*a, b, p*/);
    std::cout << work.bsgs();
    return 0;
}

多少个1?

再送一道模板。

标签：power,小步,varphi,算法,BSGS,LL,mod
来源： https://www.cnblogs.com/mklzc/p/16489129.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。