第一部分 ： 分解质因数
任何一个大于 1 的正整数都可以写成这样的形式：
其中 Pi 是 一个质数
那么我们可以用怎么样的算法去得到 这个正整数的 质因数以及其 指数呢？
我们可以用 试除法这个方法：
① 找到N的一个 质约数 然后让N一只除这个质约数，直到 N % Pi != 0
② 记录我们除这个质约数除了多少次 那么次数就是这个质约数的指数
这里还有几点要注意：
我们循环控制变量i 是这样循环的 for( i = 2 ; i <= n/i ; i++)
这样就可以找到N的绝大部分质因数 不过有可能我们会漏掉一个质因数
比如说当N很大的时候 他可能有一个质因数是大于 sqrt(N) 的
所以我们最后要进行一个判断 if( N>1 ) 那么最后N就是原来N的最后一个最大的质因数 而且这个质因数的指数一定是1
话不多说，上代码~
int cnt,primes[N]; //存储质因数
int s[N]; //存储指数
void divide(int n)
{
for(int i = 2 ; i <= n / i ; i ++)
{
if(n % i == 0)
{
primes[cnt++] = i;
while(n%i)
{
s[cnt]++;
n /= i;
}
}
if(n>1)
{
primes[cnt] = n;
s[cnt] = 1;
}
}
第二部分：筛质数
学过编程的同学一定都写过筛质数的程序吧
很经典的一道题 ： 筛取1000以内的质数
里面有一种比较好的算法：
bool is_prime(int n)
{
for(int i=2 ; i<=n/i;i++)
{
if(n % i ==0)
{
return false;
}
}
return true;
}
这就是试除法筛素数的算法，那么为什么我们要设置 i <= n/i 而不是 i <= n-1 呢 ？
因为我们这个算法是用来判断这个数是不是素数，如果这个数是合数那个它一定可以写成 a * b 且 a !=1 b != 1的形式 这是完全对称的，所以只用判断i到 sqrt(n)就可以了 。这个算法的时间复杂度为O(n logn)
那么对于筛素数我们有没有更高效的算法呢？
这里我就介绍两种筛素数的算法： 埃氏筛和线性筛
首先介绍埃氏筛：
我们还要用一个st数组来存储每个数的状态，如果这个数被筛掉了就把这个st设置为true
话不多说 上代码
int cnt,primes[N];
bool st[N];
void get_primes(int n)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!st[i]) //如果i是质数
{
primes[cnt++] = i;
for(int j = i ; j <=n ;j+=i) st[j]=true; //筛去i的倍数
}
}
}
埃氏筛的算法时间复杂度为O（n loglogn） 是十分接近O(n)的时间复杂度的， 也是算法竞赛常用的筛质数的算法
为什么埃氏筛的时间复杂度不是O(n)的呢？
因为 如果用埃氏筛的算法 一个数可能要被筛掉很多次 。
我再来介绍一个更好的算法去筛质数：线性筛，从名字来看就知道线性筛的时间复杂度是O(n)的，那么线性筛是如何筛掉合数的呢？
其实线性筛的本质也是筛掉质数的倍数，不过它中间的过程和埃氏筛有点不同
埃氏筛是只要是质数是当前合数的质因子就筛
而线性筛思路是这样的，如果质因数是当前数的最小质因子，那么这个质因数也一定是这个质因数乘以当前数的最小质因子，那么就可以筛掉
避免了一个数被重复筛去的情况，好，那么代码是如何写的呢？
void get_primes(int n)
{
for(int i=2 ;i<=n;i++)
{
if(!st[i]) primes[cnt++] = i;
for(int j = 0; primes[j] <= n/i;j++)
{
st[primes[j] * i] = true;
if(i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
标签：埃氏,int,题解,质数,算法,primes,质因数 来源： https://www.cnblogs.com/apakchan/p/15168661.html
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