标签：prime frac gcd int 欧几里得 扩展 算法 ax mod

裴蜀定理:对于任意整数a,b,存在一对整数x,y,满足ax+by=gcd(a,b)
证明：
$ \quad \ \ \ $ 在欧几里得算法的最后一步,即b=0时,显然有一对整数x=1,y=0,使得a1+00=gcd(a,0)。
$ \quad \ \ \ $ 若b>0,则gcd(a,b)=gcd(b, a mod b)。假设存在一对整数x,y,满足b*x+(a mod b) * y =gcd(b, a mod b), 因为bx+(a mod b)y=bx+(a-b$\lfloor a/b \rfloor $)y=ay+b(x- $ \lfloor a/b \rfloor $ y),所以令\(x^{\prime}\)=y,\(y^{\prime}\) =x-\(\lfloor a/b \rfloor y\),就得到了\(ax^{\prime}+by^{\prime}=gcd(a,b)\)
$ \quad \ \ \ $ 对欧几里得算法的递归过程应用数学归纳法,可证。
证毕
裴蜀定理是按欧几里得算法的思路证明的,且上述证明同时给出了整数x和y的计算方法。这种计算方法被称为扩展欧几里得算法
模板

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if(!b) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;x=y;y=x-(a/b)*y;
    return d;
}

上述程序返回了d=gcd(a,b),并将满足ax+by=gcd(a,b)的一组解用引用的方式返回了。
对于更一般的方程ax+by=c,它有解当且仅当d|c。(因为a，b为gcd(a,b)的倍数，ax+by也会是gcd(a,b)的倍数)我们可以先求出ax+by=d的一组解\(x_0,y_0\),然后令\(x_0,y_0\)同乘c/d，就可以得到方程ax+by=c的一组解了。
其实，方程ax+by=c通解可以表示为

\[ x=\frac{c}{d} x_0+k \frac{b}{d} \\ y=\frac{c}{d} y_0-k \frac{a}{d} \\ \]

其中，k为任意整数，d为gcd(a,b)。\(x_0,y_0\)为方程ax+by=c的一组解。

标签：prime,frac,gcd,int,欧几里得,扩展,算法,ax,mod
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