定义 线性基是一个数的集合，取线性基中若干个数异或起来可以得到原序列中的任何一个数。 我们设 \(P\) 为线性基的集合，\(a\) 为原数组。 那么 \(a_i\) 都能被若干个 \(P\) 内的元素的异或和表示出来。 用途： 通常可以解决有关异或的一些题目。 线性基的性质： \(P_i\) 的最高位不同。
我们称 \(B\) 是集合 \(S\) 的线性基， 当且仅当 ： \(S \subseteq \operatorname{span}(S)\) . \(B\) 线性无关. 这里不再解释线性相关 / 无关的概念， 有需求的读者可以自行翻阅线性代数。 其中， \(B\) 的元素个数称为线性基的长度。 线性基的性质 \(S\) 中的任意元素可以唯一表示
区间线性基 要求q次[l,r]区间内的最大异或和之类的 考虑维护线性基的前缀和，同时要做一些特殊处理 在插入的时候应当尽量将位置靠后的数放在线性基的高位。 即，如果插入时枚举到i位遇到一个该位相同的数，并且插入的数在它的右边，那么把它顶掉，让它异或上自己然后代替自己往后一位枚举。
1 子空间的定义 满足以下三个条件的向量集V称为子空间 1，零向量属于V 2，如果向量u和向量w属于V，那么向量u+w属于V 3，如果向量u属于V，并且c是一个标量，那么向量cu属于V ——》条件1说明： 向量集非空 0倍的向量u也在子空间中 ——》条件2+条件3正好
线性基的技巧 写的比较简单,自用 正常的线性空间的运算符是\(+,\cdot\),而算法竞赛中我们可以\(\mathrm{XOR},\cdot\),并把二进制数看成一个k维向量来解决问题。 线性基,就是一组线性无关的向量 线性基的构建 void insert(ll v){ for(int i=maxlogv;i>=0;i--){ if(v&(
设 α 1 , α 2 ,
