众所周知，量子计算机具有在某些问题上远超经典计算机的运算能力。然而，量子比特因受到噪声的影响易失去量子特性。因此，实用的可容错量子计算机最终要求对量子纠错码（即逻辑量子比特）实现编解码和纠错，并在纠错保护下进行量子逻辑门操控，实现对量子信息的保护。量子纠错被公认为是实现可容错通用量子计算的核心问题。
从量子计算机的概念出发，科学家们意识到控制量子计算错误的产生是极其关键的任务，过去的25年中理论上的长足发展，为量子计算面对这个挑战做了充分准备。
首先，如果对于量子力学的理解不够深入，量子纠错可能会让人觉得似乎很难实现：
- 叠加（Superpostion）：量子比特（Qubit）和经典比特不同，它并非要么处于 0、要么处于 1的状态，而是可能处于 0 和 1 的概率叠加。因而，对于量子比特而言，错误不仅有“比特错误”，还有“相位错误（phase errors）”。
- 纠缠（Entanglement）：量子比特并不是孤立的，并且量子计算离不开纠缠量子比特。量子纠缠是指一些量子比特处在一个系统中，并有着相互的关联（correlation）。
- 塌缩（Collapse）：当人们对一个量子比特进行测量时，处在叠加态的量子比特将会塌缩到 0 或 1，同时，与该粒子纠缠的粒子也会塌缩。
- 不可克隆定理（No-cloning theorem）：这是量子理论的一个基本推论，它描述了无论人们采用何种方法，都不可能完整地复制一个量子态。而在传统的纠错方法中，人们恰恰使用“复制”来实现纠错功能。
在经典通讯中，可以使用纠错码来保护处于噪声信道中的信号，而为了解决上面遇到的困难，我们从经典纠错码中获得灵感：
- [n, k, d] 码：我们对 k 个比特进行编码得到 n 个编码，汉明距离（Hamming distance） d 衡量了合法的编码之间的比特的差异个数。因此只要错误的比特数小于等于 d，那错误就可以被监测到，而当错误的比特数小于 d/2 则可以被纠正。
- [[n,k,d]] 码：量子纠错码通常用两个括号表示。
量子纠错码的黄金年代
量子纠错码的早期研究解决了“数字化”的问题。多个噪声物理量子比特（noisy physical qubit）被编码到一个稳定的逻辑量子比特（robust logical qubit）中。量子计算机使用巧妙设计的综合测量方法，来检测并纠正错误，同时不会影响逻辑量子比特的量子态。而量子门也是由容错的方式来执行的。并且科研人员也已经证明，只要硬件设备的保真程度超过一定的阈值，那么容错量子计算就有可能被实现。下面给出这一时期的一些重要研究成果：
- Shor 9-qubit code (1995)：第一个量子纠错码 [[9,1,3]]。
- Steane 7-qubit code (1996)：另一个早期的量子纠错编码 [[7,1,3]]。
- Lafamme/ Bennet 5-qubit code (1996)：已知最小的量子纠错码 [[5,1,3]]。
- CSS codes (1996) ：根据 Calderbank、Shor 和 Steane 的工作得到的一般量子纠错码簇。该量子纠错码展示了如何改造传统的量子纠错码使其适用于量子的情景[1]。
- Stabilizer codes (1997) ：一种基于“稳定子(stabilizer)”的定义通用量子纠错码的框架：一种强大的方法来表述和操作需要的量子态。它使用 Clifford group 中的量子门对稳定子态进行编码和解码。
- Threshold Theorem (1997) ：假设硬件设备的保真度超过了阈值，那么我们可以使用编码链接（code concatenation）技术来增加编码距离，这样一来，我们就可以任意地减少逻辑错误。
John Preskill 将上述研究称为 “量子纠错码的黄金年代（the golden age of quantum error correction）”，而现在的量子纠错码讨论地更多的是稳定子码。
拓扑码（Topological Code）
拓扑码是一种比较容易实现的编码方式，我们可以构造局域的稳定子测量来避免远程的量子比特的交互，这可以降低对设备的要求。
- Toric code：拓扑码的先驱者，由 Kitaev首先提出。
- Surface code：在二维（2D）晶格中实现，并且仅需要与最邻近（NN）的格点进行交互，我们将其称为 2DNN 特性。除了 2DNN 特性以外，它还具有较低的阈值，因此它所属的编码簇成为了容错量子计算中标准模式的一部分。目前，它的许多变体正在被发展，是一个较为活跃的技术。
- Color code：一个基于3-可着色晶格（colorable lattice）的拓扑编码簇，它的目的是对 Surface codes 进行改进。
- Topological qubits：主要由微软开发的一种平行（parallel）方法，其目的是在硬件上使用拓扑纠错。
拓扑码的一个显著的有优点在于，人们可以通过增加单位晶胞（unit cell）的大小，来提升检错和纠错的容量。然而，随着编码容量的增大，“解码”的任务必将会对量子态造成干扰（non-trivial measurement），因而设计有效的解码算法成为拓扑码最重要的任务。
伴随式解码（Syndrome Decoding）
通常，我们测量辅助量子比特来读取错误的伴随信息（syndrome information），并且这个测量操作也应当是容错的，但重复执行测量操作会引入格外的开销。在容错计算的标准模型中，我们使用传统的处理设备对伴随信息进行解码和处理，这些操作必须实时进行才能保证接下来的纠错操作可以被执行。因此，由于我们需要对处理器进行特殊设计，再加上处理器运行时会产生热量以及各种控制线缆，都会给系统带来更多的限制。
容错量子门（Fault Tolerant Gates）
理论上，通用量子计算机（Universal quantum computer）可以通过执行通用量子门集合来实现任意的量子计算任务。而仅仅依靠稳定编码的逻辑量子比特是不足以完成这个任务的，我们还需要有以容错方式执行通用量子门集合的能力。
- Gottesman-Knill Theorem (1998)：如果一个量子计算机仅仅使用 Clifford Group 中的量子门，那么我们可以使用经典计算机对其进行有效的模拟。而这样的量子计算机无法提供量子优势（quantum advance）。
- Eastin-Knill Theorem (2009)：一个通用量子门集合不可能仅由横向量子门构成，即仅作用在各自区块中的量子比特，而没有相互的作用。
拓扑码支持多种容错计算的方法，而它的理论也在发展的过程中变得越来越复杂。
- Transversal：这是一种逐位的交互，因而不会导致错误的传播。
- Braiding：晶格中的缺陷可以被当作准粒子（quasiparticle）操作。
- Lattice Surgery：平面码所占用的码表面被分离或合并从而实现门操作。
Surface code 的关键问题在于，要使用它来实现通用量子门集合是比较困难的，它缺少 Toffoli 门以及 π/8 门。在容错量子计算的标准模型中，通常使用魔法态注入（magic state injection）过程来构造一个完整的量子门集合。然而，这个过程对资源消耗巨大，因而被认为是当前架构的瓶颈。
- 魔法态（译者注）：通过在 Clifford Gates 中加入魔法态来构造 non-Clifford Gates，从而得到通用量子门集合。而魔法态一般作为量子电路中的辅助量子比特出现。
- Magic state distillation：从噪声较多、质量较低的输入中提取高保真度的魔法态。
- magic state factory：理论里，量子处理器中为了制备魔法态而进行优化的功能。
LDPC 码
在大部分的量子纠错码的研究中，一个逻辑量子比特都是由若干物理量子比特构成的。然而，基于现在的技术水平，用物理量子比特来实现逻辑量子比特需要使用大规模的量子电路（物理量子比特与逻辑量子比特的比为逻辑量子比特个数的多项式对数函数）。那么我们能够在一个量子模块中编码多个逻辑量子比特呢？
在传统的信息理论中，人们使用低密度奇偶校验（LDPC）码来增大其信道容量，直至信道的极限值。Gottesman 在 2013 年的工作中指出，我们或许可以找到量子版本的 LDPC 编码簇。
量子 LDPC 编码所做的事情可以归纳为：理论上，如果我们不对单独的量子比特进行编码，而是对更大的量子比特模块一起进行编码，则所需的物理与逻辑量子比特的比例可以区域一个常数，并可能趋近于 1，而不是之前的多项式对数。但这种方法需要远程的量子比特交互、较高的保真度阈值要求，因而增加了解码的难度。
注：
QECC: Quantum error correcting code
FTQC：Fault tolerant quantum computation
LDPC：Low density parity check
[1]量子客：https://www.qtumist.com/post/4801
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