《机器学习实战》-线性回归

2021-04-15 18:54:41 阅读：159 来源： 互联网

线性回归
用线性回归找到最佳拟合直线
- 程序8-1 标准回归函数和数据导入函数
- 程序8-2 基于程序8-1绘图
- 图片8-1 ex0的数据集和它的最佳拟合直线
局部加权线性回归
- 图片8-2 参数k与权重的关系
- 程序8-3 局部加权线性回归函数
- 图片8-3 局部加权线性回归结果
示例：预测鲍鱼的年龄
缩减系数来“理解”数据
- 岭回归
- 前向逐步回归
权衡偏差与方差
示例：预测乐高玩具套装的价格
- 收集数据：使用 Google 购物的 API
- 训练算法：建立模型
本章小结
线性回归和局部加权线性回归

线性回归

本章内容

线性回归
局部加权线性回归
岭回归和逐步线性回归
预测鲍鱼年龄和乐高玩具价格

前面的章节给大家介绍了监督学习的分类部分，接下来几章将会带领同学们翱翔浩瀚的回归海洋，注意此回归不是 Logistic 回归(Logistic 回归之所以取名为这是因为历史遗留问题)。具体是什么，那就开始让我们来揭秘吧！
注意：分类的目标变量是标称型数据；回归的目标变量是连续性数据。

用线性回归找到最佳拟合直线

线性回归的优缺点：
优点：结果易于理解，计算上不复杂
缺点：对非线性的数据拟合不好
适用数据类型：数值型和标称型数据
回归的目的：预测数值型的目标值
预测汽车功率大小的计算公式：
功率 = 0.0015 * 耗油量 + 0.99 * 百米加速时长 (纯属虚构，请勿模仿)
回归方程：上述计算公式即回归方程
回归系数：上述计算公式中的0.0015和0.99
预测值：给定所有待输入的特征值乘以对应的回归系数的总和
非线性回归：输出为输入的乘积，例：功率 = 0.0015 * 耗油量 * 百米加速时长
回归的一般方法：

收集数据：采用任意方法收集数据
准备数据：回归需要数值型数据，标称型数据将被转成数值型数据
分析数据：可视化数据，采用缩减法求得新回归系数后绘图再与上一张图比较
训练算法：找到合适的回归系数
测试算法：使用 R2或者预测值和数据的拟合度，来分析模型的效果
使用算法：使用回归预测连续性数据的类别标签

矩阵x：输入的所有数据向量 w：与数据对应的回归系数预测结果 Y1：\(Y_1={X^T}_1w\)平方误差：\(\sum_{i=1}^m(y_i-{x^T}_iw)^2\)矩阵表示平方误差：\((y-Xw)^T(y-Xw)\)平方误差对 w 求导：\(X^T(Y-Xw)\)平方误差对 w 求导等于零得：\(\hat{w}=(X^TX)-1X^Ty\)

w 上方的标记含义：当前可以估计出 w 的最优解，即 w 的一个最佳估计
上述公式包含\((X^TX)^{-1}\)，即该方程中的 X 必须存在逆矩阵
注意：不要纠结于公式，这不会影响你学习机器学习

程序8-1 标准回归函数和数据导入函数

# coding: 'utf-8'
import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from path_settings import machine_learning_PATH

data_set_path = os.path.join(machine_learning_PATH, '第八章/data-set')
ex0_path = os.path.join(data_set_path, 'ex0.txt')
ex1_path = os.path.join(data_set_path, 'ex1.txt')
abalone_path = os.path.join(data_set_path, 'abalone.txt')


def load_data_set(filename):
    # 文本第一行值全为0的解释：简单说是因为两个矩阵相乘一个矩阵的行和另一个矩阵的列得相等，具体可查资料
    num_feat = len(open(filename).readline().split('\t')) - 1

    data_mat = []
    label_mat = []

    fr = open(filename)
    for line in fr.readlines():
        line_arr = []
        cur_line = line.strip().split('\t')
        for i in range(num_feat):
            line_arr.append(float(cur_line[i]))
        data_mat.append(line_arr)
        label_mat.append(float(cur_line[-1]))

    return data_mat, label_mat


def stand_regres(x_arr, y_arr):
    x_mat = np.mat(x_arr)
    y_mat = np.mat(y_arr)
    x_tx = x_mat.T * x_mat

    # 判断矩阵是否为奇异矩阵，即矩阵是否有逆矩阵
    if np.linalg.det(x_tx) == 0:
        print("奇异矩阵没有逆矩阵")
        return

    ws = x_tx.I * (x_mat.T * y_mat.T)

    # 求解未知矩阵
    # ws = np.linalg.solve(x_tx,x_mat.T*y_mat.T)

    return x_mat, y_mat, ws


def test_stand_regres():
    x_arr, y_arr = load_data_set(ex0_path)
    _, _, ws = stand_regres(x_arr, y_arr)
    print(ws)


if __name__ == '__main__':
    test_stand_regres()

程序8-2 基于程序8-1绘图

def plot_stand_regres(x_mat, y_mat, ws):
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(x_mat[:, 1].flatten().A[0], y_mat.T[:, 0].flatten().A[0])
    x_copy = x_mat.copy()
    x_copy.sort(0)
    y_hat = x_copy * ws
    ax.plot(x_copy[:, 1], y_hat)
    plt.show()


def test_plot_stand_regres():
    x_arr, y_arr = load_data_set(ex0_path)
    x_mat, y_mat, ws = stand_regres(x_arr, y_arr)
    plot_stand_regres(x_mat, y_mat, ws)

    # 判断拟合效果
    print(np.corrcoef((x_mat * ws).T, y_mat))
    '''
        [[1.         0.98647356]
        [0.98647356 1.        ]]
    '''


if __name__ == '__main__':
    # test_stand_regres()
    test_plot_stand_regres()

图片8-1 ex0的数据集和它的最佳拟合直线

局部加权线性回归

局部加权线性回归：给待预测点附近的每个点赋予一定的权重
局部加权线性回归求回归系数公式：\(\hat{w}=(X^TWX)^{-1}X^TWy\)
W：给每个数据点赋予权重的矩阵
LWLR使用“核”(类似于支持向量机中的核)来对附近的点赋予更高的权重。
最常用的核——高斯核：\(w(i,i)=exp\left({\frac{|x^{(i)}-x|}{-2k^2}}\right)\)
点 x 与 x(i)越近，w(i,i)将会越大，参数 k 决定了对附近的点赋予多大的权重。

图片8-2 参数k与权重的关系

假定我们正预测的点是 x=0.5，最上面的是原始数据集，第二个图显示了当 k=0.5 时，大部分数据都用于训练回归模型；最下面的图显示当 k=0.01 时，仅有很少的局部点被用于训练回归模型。

程序8-3 局部加权线性回归函数

def lwlr(test_point, x_arr, y_arr, k=1):
    """给样本点增加权重，参数 k 控制衰减的速度"""
    x_mat = np.mat(x_arr)
    y_mat = np.mat(y_arr)

    m = np.shape(x_mat)[0]

    # 创建对角权重矩阵。该矩阵对角线元素全为1，其余元素全为0
    weights = np.mat(np.eye(m))

    for j in range(m):
        diff_mat = test_point - x_mat[j, :]
        weights[j, j] = np.exp(diff_mat * diff_mat.T / (-2 * k ** 2))

    x_tx = x_mat.T * (weights * x_mat)

    if np.linalg.det(x_tx) == 0:
        print("奇异矩阵没有逆矩阵")
        return

    ws = x_tx.I * (x_mat.T * (weights * y_mat.T))

    return test_point * ws


def lwlr_test(test_arr, x_arr, y_arr, k=1):
    """使数据集中每个点调用 lwlr 方法"""
    m = np.shape(test_arr)[0]

    y_hat = np.zeros(m)

    for i in range(m):
        y_hat[i] = lwlr(test_arr[i], x_arr, y_arr, k)

    return y_hat


def test_lwlr_test():
    x_arr, y_arr = load_data_set(ex0_path)
    y_hat = lwlr_test(x_arr, x_arr, y_arr, 0.003)
    print(y_hat)


def plot_lwlr(x_sort, y_hat, str_ind, x_mat, y_mat):
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)

    ax.plot(x_sort[:, 1], y_hat[str_ind])

    ax.scatter(x_mat[:, 1].flatten().A[0], y_mat.T[:, 0].flatten().A[0], s=2, c='red')

    plt.show()


def test_plot_lwlr():
    x_arr, y_arr = load_data_set(ex0_path)
    x_mat = np.mat(x_arr)
    y_mat = np.mat(y_arr)
    y_hat = lwlr_test(x_arr, x_arr, y_arr, 0.01)
    str_ind = x_mat[:, 1].argsort(0)
    x_sort = x_mat[str_ind][:, 0, :]

    plot_lwlr(x_sort, y_hat, str_ind, x_mat, y_mat)


if __name__ == '__main__':
    # test_stand_regres()
    # test_plot_stand_regres()
    # test_lwlr_test()
    test_plot_lwlr()

图片8-3 局部加权线性回归结果

示例：预测鲍鱼的年龄

缩减系数来“理解”数据

岭回归

前向逐步回归

权衡偏差与方差

示例：预测乐高玩具套装的价格

收集数据：使用 Google 购物的 API

训练算法：建立模型

本章小结

线性回归和局部加权线性回归

由于看完《机器学习实战》第八章中的局部加权线性回归后，敲完代码之后只是知道它是这样的，但不是很清楚内在的原因。书中并没有对其做过多解释，百度也找不到一篇很好的文章来解释线性回归和局部加权线性回归两者之间的区别。索性写一写自己对线性回归和局部加权线性回归的看法与感悟。也许还是不那么准确，但一定是清晰易懂的。

其中的平方误差是我们的在 x=xi 上预测值与实际值的差值平方，而我们需要做的任务就是找到一个最合适的 w 使得该差值平方最小。

再来说说我们的局部加权线性回归(LWLR)，它只是在线性回归的基础上加了一个权重，而LWLR通常使用“核”(类似于自持向量机中的核)来对附近的点赋予更高的权重。因此它的公式变成：

\(\sum_{i=1}^mW_i(y_i-x^T_iw)^2\)

注意：Wi 是赋予 xi 权重的矩阵，也可以是向量。

一般我们的 Wi 最常用的核是高斯核：\(w(i,i)=exp\left({\frac{|x^{(i)}-x|}{-2k^2}}\right)\)

注意：高斯核中的 x 为新预测样本的特征数据即新的 x，它同 w 也是一个向量，参数 k 控制了权值变化的速率。

以上介绍了局部加权线性回归的理论，现在通过图像我们再来形象化的解释局部加权线性回归。首先看看不同 k 下的参数 k 与权重的关系：

基于上图我们能发现两个规律：
- 假定我们正预测的点是 x=0.5，一定要记住 x 的对应值不再是一个数值，它的对应值变成了向量，所以这是 x=0.5后的新图像，牢记它变成了一个向量，最上面的是原始数据集；第二个图显示了当 k=0.5 时，大部分数据都用于训练回归模型；最下面的图显示当 k=0.01 时，仅有很少的局部点被用于训练回归模型。
- 如果\(|x^{(i)}-x|\approx0\)，则\(w_{(i)}\approx1\)；如果\(|x^{(i)}-x|\approx\infty\)，则\(w^{(i)}\approx0\)

重点来了，我刚开始不明白的就是这里，上面两个注意+图片解释其实已经揭晓了答案

离 x 很近的样本，权值接近1；而离 x 很远的样本，此时权值接近于0，这样就在 x 局部构成线性回归，x 构成的线性回归依赖的事 x 周边的点，而不类似于线性回归依赖训练集中的所有数据。

上图红线是某个点 x 基于训练集中所有数据使用线性回归做的结果，黑色直线使用 LWLR 做的结果，由于在每个数据都会重复局部加权的过程，并且不断地每个点的回归系数也在不断的改变，因此它会很好的拟合数据集，进而消除了线性回归拟合不好的缺点。(有点类似极限或者求导或者微积分的思想，总之就是把一个大的物体切割成一大部分，然后对于每一部分进行计算)。

说到了LWLR的优点，不得不说说它的缺点，上一段讲到了训练集中的每个数据都会重复局部加权的过程，因此他的计算量是庞大的，并且他的回归系数是基于周围的数据计算出来的，因此下次需要预测某个数据的分类时，需要再一次输入所有的数据。即线性回归算法是参数学习算法，一旦拟合出合适的回归系数，对于之后的预测，不需要再使用原始训练数据集；局部加权线性回归算法是非参数学习算法，每次进行预测都需要全部的训练数据，无法算出固定的回归系数。

最后看一看线性回归和不同 k 值的局部加权线性回归对相同数据集的结果。

上图第一张图使用的是 k=1 的LWLR(类似于线性回归)，第二张图使用的是 k=0.01 的LWLR，第三张图使用的 k=0.003 的 LWLR。第一张图明显欠拟合，第二张图很合适，第三张图过拟合。

标签：实战,arr,机器,mat,回归,test,np,线性
来源： https://blog.51cto.com/u_13804357/2709150

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