树形DP
解决符合子树最优结构，或者链上问题（枚举链的最高点）等等
例题1
Luogu P3576 [POI2014]MRO-Ant colony
蚂蚁没有办法走回头路，且行动是可以预知的，只需要考虑经过食蚁兽所在的边，所以不妨倒着做，从食蚁兽出发得出每个可能的区间，然后排序后二分即可
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int cnt,to[N<<1],nxt[N<<1],he[N],R[N],L[N],son[N],a[N],n,m,k;
ll ans;
inline void add(int u,int v) {
to[++cnt]=v,nxt[cnt]=he[u],he[u]=cnt;
}
inline void dp(int u,int siz,int l,int r) {
if((ll)siz*l>a[m]) return;
L[u]=siz*l;
if((ll)siz*(r+1)-1>a[m]) R[u]=a[m];
else R[u]=siz*(r+1)-1;
}
void dfs(int fa,int u) {
for(int e=he[u];e;e=nxt[e]) {
int v=to[e];
if(v!=fa) {
dp(v,(son[v]==0?1:son[v]),L[u],R[u]);
if(L[v]!=0||R[v]!=0) {
dfs(u,v);
}
}
}
}
inline int left(int x) {
int l=1,r=m,ans;
while(l<=r) {
int mid=l+r>>1;
if(a[mid]>=x) ans=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
}
return ans;
}
inline int right(int x) {
int l=1,r=m,ans=0;
while(l<=r) {
int mid=l+r>>1;
if(a[mid]<=x) ans=mid,l=mid+1;
else r=mid-1;
}
return ans;
}
int main() {
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int i=1;i<=m;i++) {
scanf("%d",&a[i]);
}
sort(a+1,a+m+1);
int rt=0,Fa=0;
for(int i=1;i<n;i++) {
int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v),add(v,u);
son[u]++,son[v]++;
if(i==1) {
rt=u,Fa=v;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) son[i]--;
dp(rt,(son[rt]==0?1:son[rt]),k,k);
dp(Fa,(son[Fa]==0?1:son[Fa]),k,k);
dfs(Fa,rt),dfs(rt,Fa);
for(int i=1;i<=n;i++) {
// if(!son[i]) printf("%d %d\n",L[i],R[i]);
if(!son[i]&&(L[i]||R[i])) {
ans+=right(R[i])-left(L[i])+1;
}
}
printf("%lld\n",ans*k);
return 0;
}
例题2
显然，如果一个点权值确定，则整棵树都确定了且是唯一的，不妨用根节点的权值表示树的权值
所以对于每个点权求出其对应的根节点的权值，用\(log\)改为加法，排序判断最小修改次数
#include<bits/stdc++.h>
#define db double
const db eps=1e-7;
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,cnt,to[N],nxt[N],he[N],a[N];
db f[N];
inline void add(int u,int v) {
to[++cnt]=v,nxt[cnt]=he[u],he[u]=cnt;
}
void dfs(int fa,int u) {
int son=0;
for(int e=he[u];e;e=nxt[e]) {
int v=to[e];
if(v!=fa){
dfs(u,v);
son++;
}
}
if(son) f[u]=log(son);
}
void dgs(int fa,int u) {
f[u]+=f[fa];
for(int e=he[u];e;e=nxt[e]) {
int v=to[e];
if(v!=fa) {
dgs(u,v);
}
}
f[u]=f[fa]+log(a[u]);
}
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d",&a[i]);
}
for(int i=1;i<n;i++) {
int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v),add(v,u);
}
dfs(0,1); dgs(0,1);
sort(f+1,f+n+1);
int ans=n,now=1;
for(int i=2;i<=n;i++) {
if(abs(f[i]-f[i-1])<=eps) now++;
else {
ans=min(ans,n-now);
now=1;
}
}
ans=min(ans,n-now);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
例题3
有向图求拓扑序种类是NP问题
设\(f[i]\)表示\(i\)子树的拓扑序的种类，显然是无法转移的
所以再记一维表示根节点的拓扑序
对于\((u,v)\)，
-
若\(u\)先，则
\[f[u][k]=\sum_{i=1}^{k}f[u][i]\times C_{k-1}^{i-1}\times C_{sz[u]+sz[v]-k}^{sz[u]-i}\times f[v][j],j\in(k-i,sz[v]] \] -
若v先，则
\[f[u][k]=\sum_{k=1}^{k}f[u][i]\times C_{k-1}^{i-1}\times C_{sz[u]+sz[v]-k}^{sz[u]-i}\times f[v][j],j\in[1,k-i] \]
前缀和优化即可
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int p=1e9+7;
using namespace std;
inline int mo(int x) {
return x>=p?x-p:x;
}
const int N=1005;
int cnt,n,to[N<<1],nxt[N<<1],he[N],w[N<<1];
ll f[N][N];
int siz[N],c[N][N];
char op[10];
inline void add(int u,int v,int k) {
to[++cnt]=v,nxt[cnt]=he[u],w[cnt]=k;
he[u]=cnt;
}
void dfs(int fa,int u) {
siz[u]=1; f[u][1]=1;
for(int e=he[u];e;e=nxt[e]) {
int v=to[e];
if(v!=fa) {
dfs(u,v);
if(!w[e]) {
for(int k=siz[u]+siz[v];k;k--) {
int sum=0;
for(int i=1;i<=min(siz[u],k);i++) {
ll t=mo(f[v][siz[v]]-f[v][k-i]+p);
sum=mo(sum+t*f[u][i]%p*c[i-1][k-1]%p*c[siz[u]-i][siz[u]+siz[v]-k]%p);
}
f[u][k]=sum;
}
} else {
for(int k=siz[u]+siz[v];k;k--) {
int sum=0;
for(int i=1;i<=min(siz[u],k);i++) {
ll t=f[v][min(siz[v],k-i)];
sum=mo(sum+t*f[u][i]%p*c[i-1][k-1]%p*c[siz[u]-i][siz[u]+siz[v]-k]%p);
}
f[u][k]=sum;
}
}
siz[u]+=siz[v];
}
}
for(int i=2;i<=siz[u];i++) {
f[u][i]=mo(f[u][i]+f[u][i-1]);
}
}
int main() {
int T; scanf("%d",&T);
c[0][0]=1;
for(int j=1;j<=1000;j++) {
c[0][j]=1;
for(int i=1;i<=j;i++) {
c[i][j]=mo(c[i][j-1]+c[i-1][j-1]);
}
}
while(T--) {
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;i++) {
int u,v;
scanf("%d%s%d",&u,op,&v);
++u,++v;
add(u,v,op[0]=='>'),add(v,u,op[0]=='<');
}
dfs(0,1);
printf("%d\n",f[1][n]);
cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++) he[i]=0;
memset(f,0,sizeof(f));
memset(siz,0,sizeof(siz));
}
return 0;
}
树形DP+贪心(扰动法)
Luogu P3574 [POI2014]FAR-FarmCraft
显然可以树形DP，\(f[i]\)表示\(i\)的子树中的最大装配时间，\(g[i]\)表示\(i\)的赶路时间
考虑如何转移\(f\),貌似要\(O(n!)\)
然后利用扰动法得出：（交换相邻两项使之变劣）
\[f[v1]-g[v1]>=f[v2]-g[v2] \]#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
int cnt,to[N<<1],nxt[N<<1],he[N],n,c[N],f[N],g[N];
struct A{ int u,s; };
bool operator <(A i,A j) {
return i.s<j.s;
}
priority_queue<A>q;
inline void add(int u,int v) {
to[++cnt]=v,nxt[cnt]=he[u],he[u]=cnt;
}
void dfs(int fa,int u) {
for(int e=he[u];e;e=nxt[e]) {
int v=to[e];
if(v!=fa) dfs(u,v);
}
for(int e=he[u];e;e=nxt[e]) {
int v=to[e];
if(v!=fa) q.push((A){v,f[v]-g[v]});
}
f[u]=c[u];
while(!q.empty()) {
int v=q.top().u; q.pop();
f[u]=max(f[u],f[v]+g[u]+1);
g[u]+=g[v]+2;
}
}
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d",&c[i]);
}
for(int i=1;i<n;i++) {
int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v),add(v,u);
}
dfs(0,1);
printf("%d\n",max(f[1],c[1]+g[1]));
return 0;
}
标签：nxt,cnt,sz,int,fa,树形,DP,he 来源： https://www.cnblogs.com/wsfwsf/p/14636638.html
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