标签：frac ln na 4002 洛谷 2017 prod sum define
- 给定一张森林，其中有\(n\)棵树，第\(i\)棵树中有\(a_i\)个点。
- 要求再连上\(n-1\)条边使得整张图成为一棵树，假设一种方案中第\(i\)棵树共连出\(d_i\)条边，则这种方案的价值为\((\prod_{i=1}^nd_i^m)(\sum_{i=1}^nd_i^m)\)。
- 求所有方案的价值之和。
- \(n\le3\times10^4,m\le30\)
\(prufer\)序列
不妨改为用每个点的度数-1表示\(d_i\)。
根据\(prufer\)序列的结论，这种情况下的生成树种数应该是\(\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^nd_i!}\)（其实就是个可重全排列）。
再考虑上每个连通块的每条边连接的点都有\(a_i\)种选择，因此列出答案的计算式为：
\[\sum_{\sum_{i=1}^nd_i=n-2}\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^nd_i!}\prod_{i=1}^na_i^{d_i+1}(d_i+1)^m\sum_{i=1}^m(d_i+1)^m \]稍微变个形便可以得到：
\[(n-2)!\prod_{i=1}^na_i\cdot\sum_{\sum_{i=1}^nd_i=n-2}\prod_{i=1}^n\frac{a_i^{d_i}}{d_i!}(d_i+1)^m\sum_{i=1}^m(d_i+1)^m \]我们可以最后再给答案乘上\((n-2)!\prod_{i=1}^na_i\)这个常数，那就只需考虑其后这坨式子。
式子化简+生成函数
这个东西看起来长得非常恶心，但实际上我们可以直接把前面\(\prod\)中的式子乘到后面的\(\sum\)里面，将它写成：
\[\sum_{\sum_{i=1}^nd_i=n-2}\sum_{i=1}^n\frac{a_i^{d_i}}{d_i!}(d_i+1)^{2m}\prod_{j\not=i}\frac{a_j^{d_j}}{d_j!}(d_j+1)^m \]这时候的式子总算长成了一个卷积的形式，我们构造出两个关于\(d_i\)的生成函数：
\[A(x)=\sum_i\frac{(i+1)^{2m}}{i!}x^i\\ B(x)=\sum_i\frac{(i+1)^{m}}{i!}x^i \]由于原式的\(a_i^{d_i}\)一项中\(d_i\)充当指数，因此我们需要把\(a_i\)写到括号里面，就可以转化得到：
\[[x^{n-2}]\sum_{i=1}^nA(a_ix)\prod_{j\not=i}B(a_jx) \]后面式子中\(j\not=i\)一看就很麻烦，但又很容易消掉，只要在后面的式子中乘上它并在前面的式子中除以它即可，而这样一来的好处就是\(i\)与\(j\)独立了：
\[[x^{n-2}]\sum_{i=1}^n\frac AB(a_ix)\prod_{j=1}^nB(a_jx) \]其中的\(\prod_{j=1}^nB(a_jx)\)是一堆多项式乘法想想都不太可行，因此考虑写成\(\exp(\sum_{j=1}^n\ln B(a_jx))\)化乘为加：
\[[x^{n-2}]\sum_{i=1}^n\frac AB(a_ix)\exp(\sum_{j=1}^n\ln B(a_jx)) \]其中的\(\frac AB\)直接多项式求逆后多项式乘法，而\(\ln B\)也就是一个多项式\(\ln\)板子。
现在的问题在于这两部分式子前面都有一个\(\sum_{i=1}^n\)，且括号里面都有一个\(a_i\)，也就是说我们需要给这两个多项式的每个第\(k\)次项乘上一个\(\sum_{i=1}^na_i^k\)。
所以问题来了，如何对于所有的\(k=0\sim n\)，快速求出\(\sum_{i=1}^na_i^k\)。
快速求整个数列全部\(k\)次方和
又是一大难点。
不难想到构造这个的生成函数：
\[F(x)=\sum_{k}\sum_{i=1}^na_i^kx^k \]考虑到\(\ln(f(x))'=\frac{f'(x)}{f(x)}\)，所以说就有：
\[G(x)=\ln(\prod_{i=1}^n(1-a_ix))'=\frac{-a_i}{\prod_{i=1}^n(1-a_ix)} \]而众所周知\(1-a_ix=\sum_ka_i^kx^k\)，可以继续化简得到：
\[G(x)=-a_i\sum_k\sum_{i=1}^na_i^kx^k=-\sum_k\sum_{i=1}^na_i^{k+1}x^k \]发现\(G(x)\)和\(F(x)\)长得很像（废话，本来就是专门为它构造的），实际上我们只要把\(\sum\)前的系数改正、给所有\(x^k\)次数加\(1\)并添上常数项\(n\)，就能发现它们之间存在的关系式：
\[F(x)=-xG(x)+n \]而要求\(G(x)\)，显然只要分治\(NTT\)求出\(\prod_{i=1}^n(1-a_ix)\)，然后多项式\(\ln\)+求导即可。（所以说是怎么想到这种构造的啊！）
求出\(F(x)\)之后，它的第\(k\)项系数就是\(\sum_{i=1}^na_i^k\)。
利用它就可以求出前面多项式每一项的真正系数，再把\(\ln B\)给\(\exp\)回去卷上\(\frac AB\)，这道题就终于落下帷幕了。
代码：\(O(nlog^2n)\)
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 30000
#define X 998244353
using namespace std;
int n,m,a[N+5],Fac[N+5],IFac[N+5],A[N+5],B[N+5],B_[N+5],S[N+5],F[N+5],ans[N+5];
I int QP(RI x,RI y) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}
namespace Poly//多项式板子
{
#define PR 3
#define Init(n) P=1,L=0;W(P<=2*(n)) P<<=1,++L;\
for(i=0;i^P;++i) A[i]=B[i]=0,R[i]=((R[i>>1]>>1)|((i&1)<<L-1));
int P,L,R[N<<2],p[N+5],A[N<<2],B[N<<2];
I void NTT(int* s,CI op)
{
RI i,j,k,x,y,U,S;for(i=0;i^P;++i) i<R[i]&&(x=s[i],s[i]=s[R[i]],s[R[i]]=x);
for(i=1;i^P;i<<=1) for(U=QP(QP(PR,op),(X-1)/(i<<1)),j=0;j^P;j+=i<<1) for(S=1,k=0;
k^i;++k,S=1LL*S*U%X) s[j+k]=((x=s[j+k])+(y=1LL*S*s[i+j+k]%X))%X,s[i+j+k]=(x-y+X)%X;
}
I void Mul(CI n,int* a,int* b)//多项式乘法
{
RI i;Init(n);for(i=0;i<=n;++i) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
for(NTT(A,1),NTT(B,1),i=0;i^P;++i) A[i]=1LL*A[i]*B[i]%X;
RI t=QP(P,X-2);for(NTT(A,X-2),i=0;i<=n;++i) a[i]=1LL*A[i]*t%X;
}
I void Inv(CI n,int* a,int* b)//多项式求逆
{
if(!n) return (void)(b[0]=QP(a[0],X-2));RI i;Inv(n>>1,a,b);
Init(n);for(i=0;i<=n;++i) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
for(NTT(A,1),NTT(B,1),i=0;i^P;++i) A[i]=(2LL*B[i]-1LL*A[i]*B[i]%X*B[i]%X+X)%X;
RI t=QP(P,X-2);for(NTT(A,X-2),i=0;i<=n;++i) b[i]=1LL*A[i]*t%X;
}
I void Ln(CI n,int* a,int* b)//多项式ln
{
RI i;for(i=0;i<=n;++i) b[i]=0;Inv(n,a,b);
Init(n-1);for(i=0;i<=n-1;++i) A[i]=1LL*a[i+1]*(i+1)%X,B[i]=b[i];
for(NTT(A,1),NTT(B,1),i=0;i^P;++i) A[i]=1LL*A[i]*B[i]%X;
RI t=QP(P,X-2);for(NTT(A,X-2),b[0]=i=0;i^n;++i) b[i+1]=1LL*A[i]*t%X*QP(i+1,X-2)%X;
}
int q[N+5];I void Exp(CI n,int* a,int* b)//多项式exp
{
if(!n) return (void)(b[0]=1);RI i;Exp(n>>1,a,b);
Ln(n,b,p),Init(n);for(i=0;i<=n;++i) A[i]=b[i],B[i]=(!i-p[i]+a[i]+X)%X;
for(NTT(A,1),NTT(B,1),i=0;i^P;++i) A[i]=1LL*A[i]*B[i]%X;
RI t=QP(P,X-2);for(NTT(A,X-2),i=0;i<=n;++i) b[i]=1LL*A[i]*t%X;
}
int ct,f[50][N+5];I void Solve(CI l,CI r,CI rt)//分治NTT求∏(1-ax)
{
if(l==r) return (void)(f[rt][0]=1,f[rt][1]=X-a[l]);
RI i,mid=l+r>>1,lc=++ct,rc=++ct;Solve(l,mid,lc),Solve(mid+1,r,rc);
P=1,L=0;W(P<=2*(r-l+1)) P<<=1,++L;for(i=0;i^P;++i) A[i]=B[i]=0,R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<L-1);
for(i=0;i<=mid-l+1;++i) A[i]=f[lc][i];for(i=0;i<=r-mid;++i) B[i]=f[rc][i];
for(NTT(A,1),NTT(B,1),i=0;i^P;++i) A[i]=1LL*A[i]*B[i]%X;
RI t=QP(P,X-2);for(NTT(A,X-2),i=0;i<=r-l+1;++i) f[rt][i]=1LL*A[i]*t%X;ct-=2;
}
}
int main()
{
RI i;for(scanf("%d%d",&n,&m),i=1;i<=n;++i) scanf("%d",a+i);
for(Fac[0]=i=1;i<=n;++i) Fac[i]=1LL*Fac[i-1]*i%X;//预处理阶乘
for(IFac[i=n]=QP(Fac[n],X-2);i;--i) IFac[i-1]=1LL*IFac[i]*i%X;//预处理阶乘逆元
for(i=0;i<=n;++i) A[i]=1LL*QP(i+1,2*m)*IFac[i]%X,B[i]=1LL*QP(i+1,m)*IFac[i]%X;//求出初始的A,B
Poly::Inv(n,B,B_),Poly::Mul(n,A,B_),Poly::Ln(n,B,S),Poly::Solve(1,n,0),Poly::Ln(n,Poly::f[0],F);//A=A/B,S=lnB,F=ln∏(1-ax)
for(i=0;i<=n;++i) F[i]=1LL*F[i+1]*(i+1)%X;for(i=n;i;--i) F[i]=(X-1LL)*F[i-1]%X;F[0]=n;//对F求导，然后变成-xF+n成为真正需要的F
for(i=0;i<=n;++i) A[i]=1LL*F[i]*A[i]%X,S[i]=1LL*F[i]*S[i]%X;//给两个多项式的第i项乘上∑(a^i)
Poly::Exp(n,S,ans),Poly::Mul(n,ans,A);RI t=1LL*ans[n-2]*Fac[n-2]%X;//把S给exp回去再和A卷起来，t初始化为答案多项式的第n-2次项乘上常数中的(n-2)!
for(i=1;i<=n;++i) t=1LL*t*a[i]%X;return printf("%d\n",t),0;//乘上常数中的∏a
}
标签：frac,ln,na,4002,洛谷,2017,prod,sum,define 来源： https://www.cnblogs.com/chenxiaoran666/p/Luogu4002.html
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