标签：二分 return 递归 int 分治 调用函数 序列
递归、二分和分治
一、递归
1、介绍
我们在自定义函数中调用该函数，就是递归。
它分两种：
- 函数 a 调用函数 a （直接递归）
- 函数 a 调用函数 b ，函数 b 调用函数 a （间接递归）
显然函数在调用时会不停调用，所以递归函数大致由两个部分组成
- 函数出口部分
- 调用函数部分
举个简单的例子：
求 n 的阶乘
| n | 结果（f(n)） | 结果（f(n)） |
|---|---|---|
| n=5时（调用函数） | f(5)=5*f(4) ↓ | ↑ 5*24=120 |
| n=4时（调用函数） | f(4)=4*f(3) ↓ | ↑ 4*6=24 |
| n=3时（调用函数） | f(3)=3*f(2) ↓ | ↑ 3*2=6 |
| n=2时（调用函数） | f(2)=2*f(1) ↓ | ↑ 2*1=2 |
| n=1时（函数出口） | f(1)=1 ↓ | ↑ 1 |
ps：当调用递归函数时，计算机会调用栈空间，所以请小心递归层数！以免MLE
ps: 在调用函数时，函数会先到最底层，在求出最终结果，所以请小心递归次数！以免TLE
函数如下 ：
int func(int n) {
//递归出口
if(n<=1) return 1;//0!=1
//调用函数
return func(n-1)*n;
}
2、例题
①、求最大公约数
内存限制：128 MiB
时间限制：1000 ms
题目描述：
用递归算法求两个数m和n的最大公约数。（m>n>0）
样例输入：
8 6
样例输出：
gcd=2
分析：
我们可以用递归来实现辗转相除法
- 函数出口部分：当可以整除时就返回n
- 调用函数部分：返回除数与余数的最大公因数
函数如下：
int gcd(int m,int n) {
if(! m % n) return n;
return gcd(n, n % m);
}
②、全排列
内存限制：128 MiB
时间限制：1000 ms
题目描述：
给定一个由不同的小写字母组成的字符串（长度<10），输出这个字符串的所有全排列。 我们假设对于小写字母有’a’ < ‘b’ < … < ‘y’ < ‘z’，而且给定的字符串中的字母已经按照从小到大的顺序排列。
样例输入：
abc
样例输出：
abc
acb
bac
bca
cab
cba
分析：
我们可以用使用到第几个字母为参数，并以此为递归出口。
其他时候我们从整个字符串中寻找没有被使用过的字符。并将它存入待输出的数组中。
主要代码：
int n;//记录字符串长
bool a[10];//记录字符状态
char s[30],//记录输入的字符串
ans[10];//记录一种可行解
void f(int m) {
if(m==n) {//出口
cout<<ans<<'\n';//输出答案
return;//结束函数
}
for(int i=0;i<n;i++) {//从整个字符串中寻找
if(a[i]==false) {//用数组记录状态
ans[m]=s[i];//记录答案
a[i]=true;//标记为使用过
f(m+1);//长度+1，继续枚举答案
a[i]=false;//（找到答案后）重新找下一种答案，而该字符则标记为未使用
}
}
}
int main() {
cin>>s;//输入
n=strlen(s);//计算长度
f(0);//递归
return 0;
}
二、分治
1、介绍
通俗来说，分治是将一个原问题分解成若干个子问题，再将子问题逐个求解，最后将子问题的解合并成原问题的解。
举个栗子：
输入一个序列，寻找最大值和最小值。
先不想那么多，我们先来思考一下：子问题是什么？他怎么求解？
显然，在序列长度为一的情况下，可以立即知道最值。
而一般情况下，只需要知道若干子序列的最值，即可知道该序列的最值。
代码如下：
int fmax(int l,int r) {
if(l==r) return a[l];//序列长度为一，返回序列中的唯一元素
return max(fmax(l,(l+r)/2),fmax((l+r)/2+1,r));//左边的最小值 和 右边的最大值 的 最大值
}
int fmin(int l,int r) {
if(l==r) return a[l];//序列长度为一，返回序列中的唯一元素
return min(fmin(l,(l+r)/2),fmin((l+r)/2+1,r));//左边的最小值 和 右边的最小值 的 最小值
}
2、例题（快速幂）
内存限制：256 MiB
时间限制：1000 ms
题目描述：
计算ab的值
样例输入：
2 10
样例输出：
1024
分析：
函数递归方式如下：
三、二分
1、介绍
二分，字面意思就是一分为二的方法。即，把一个问题一分为二，在合适的子问题（区间）中求解该问题的解。
举个栗子：
在一个非降序列中，查找给定值。
输入格式：
第一行包含一个整数n，为非降序列长度。1<=n<=100000。
第二行包含n个整数，为非降序列各元素。所有元素的大小均在0-1,000,000,000之间。
第三行包含一个整数m，为给定值。给定值的大小均在0-1,000,000,000之间。
输出格式：
一个字符，'Y’表示该序列中存在给定值，'N’则反之
二分思路：
首先，如果序列只剩一个元素(l==r)，返回该元素是否等于给定值(a[l]==t)。
然后，再从中间二分。
因为该序列是有序的，所以我们二分序列，如果给定值比序列中间的那个数大(a[(l+r)/2]>t)，则去找左边那个子区间 (l,(l+r)/2-1)， 反之，则去找右区间 ((l+r)/2+1,r)。
比如：
1 2 3 5 7
找 2 这个数
第一次查找的范围是 1~5 ；
第二次查找的区间时 1~2 ；
第三次查找的区间时 2~2 （找到了）
2、例题
数列分段
内存限制：512 MiB
时间限制：1000 ms
题目描述:
对于给定的一个长度为 n 的正整数数列 a ，现要将其分成 m 段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。
样例输入:
5 3
4 2 4 5 1
样例输出:
6
分析：
拿到题目
第一件事情：找到 l 和 r 。即，问题范围。
最少可能为序列中元素的最大值；
最多可能为序列中元素的总和。
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) {
cin>>a[i];
l=max(l,a[i]),r+=a[i];
}
第二件事情：找到二分条件。
bool f(int x) {
int sum=1,t=0;//在传入的限定的最大值中累计需要的区间数量
for(int i=1;i<=n;i++)
if(t+a[i]<=x) t+=a[i];
else sum++,t=a[i];
return sum<=m;//传回是否符合要求
}
第三件事情：找到二分方法。
二分最大值。
while(l<=r) {
int mid=(r+l)/2;
if (f(mid))
ans=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
}
四、总结
递归、分治和二分都是使用函数进行调用自身来寻找答案，它可以通过你设计好的执行方式来返回你需要的值，而用它写出的循环结构会更加简洁。
希望大家通过此篇后会更加了解函数。
标签：二分,return,递归,int,分治,调用函数,序列 来源： https://blog.csdn.net/weixin_49692699/article/details/114878004
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