标签：dots 矩阵 rank 3.5 alpha 初等 gamma

数域\(K\)上的\(s \times n\)矩阵\(A\)

\[\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & \cdots & a_{sn} \end{pmatrix} \]

设\(\gamma_1,\gamma_2, \dots ,\gamma_s\)为行向量组，\(\alpha_1,\alpha_2, \dots ,\alpha_n\)为列向量组。
记\(rank\{\alpha_1,\alpha_2, \dots ,\alpha_n\}\)为\(A\)的列秩，\(rank\{\gamma_1,\gamma_2, \dots ,\gamma_s\}\)为\(A\)的行秩。
\(<\alpha_1,\alpha_2, \dots ,\alpha_n>\)为\(A\)的列空间，\(<\gamma_1,\gamma_2, \dots ,\gamma_s>\)为\(A\)的行空间。
\(rank\{\alpha_1,\alpha_2, \dots ,\alpha_n\} = \dim <\alpha_1,\alpha_2, \dots ,\alpha_n>\)，\(rank\{\gamma_1,\gamma_2, \dots ,\gamma_s\} = \dim <\gamma_1,\gamma_2, \dots ,\gamma_s>\)
问题：\(A\)的行秩与列秩之间的关系。

定理 1：数域\(K\)上\(s \times n\)的阶梯形矩阵\(J\)，设\(J\)的非零行的个数为\(r\)，则行秩 = 列秩 = \(r\)。且\(J\)主元所在的列构成\(J\)的列向量组的一个极大线性无关组。
证明：等时间充裕了再补充

定理 2：矩阵的初等行变换，不改变矩阵的行秩
证明：三种初等行变换分情况讨论，易证

定理 3：矩阵的初等行变换，不改变矩阵的列向量组线性相关性。从而，不改变矩阵的列秩。
（同时，若\(B\)中的\(\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots ,\beta_{j_r}\)是列向量组的极大线性无关组，那么\(A\)中的\(\alpha_{j_1},\alpha_{j_2},\dots ,\alpha_{j_r}\)也是\(A\)的列向量组的极大线性无关组）

定理 4：任一矩阵的行秩 = 列秩
证明：将\(A\)经初等行变换为阶梯形矩阵\(J\)，从而\(A\)的行秩 = \(J\)的行秩 = \(J\)的列秩 = \(A\)的列秩

定义 1：矩阵\(A\)的行秩与列秩称为矩阵\(A\)的秩
推论 1：设\(A\)经初等行变换为\(J\)，则\(rank(A)\) = \(J\)的非零行的个数，又\(J\)的主元所在列构成\(A\)的一个极大线性无关组。
推论 2：\(A\)的转置\(A'\)，故\(rank(A) = rank(A')\)
推论 3：若\(A\)经初等行变换得到\(B\)，则\(rank(A) = rank(B)\)。即矩阵的初等行变换，不改变行秩。

定理 5：\(s \times n\)的非零矩阵\(A\)的秩等于\(A\)的不为\(0\)子式的最高阶数。

标签：dots,矩阵,rank,3.5,alpha,初等,gamma
来源： https://www.cnblogs.com/miraclepbc/p/14458268.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。