标签：中科院 有理数 面积 华罗庚 油饼 瞬时速度 高等数学 初等数学

本文来自科普博览大家族SELF格致论道讲坛（ID:SELFtalks）

“华罗庚是我国最博学的数学家，他总观全局，把初等数学讲得这么少（精炼），使我们学习数学更有信心。”

从小学到高中，我们学过12年的数学，叫做初等数学；大学后的微积分，叫做高等数学。

初等数学大致是什么内容呢？著名数学家华罗庚在1979年留下一个视频，他对此做过解答。

他说，数学就是数和形。最先出现的是数字，就是12345；后来有了减法，就出现了负数；再后来有了除法，就出现了分数。这许多“数”，有一个总名字：有理数。

有理数有一个特殊性质：有理数加有理数还是有理数，有理数减有理数还是有理数，有理数乘有理数还是有理数。也就是说，有理数遇到另一个有理数，不论加减乘，结果都是有理数。那么有理数除有理数呢？只有一种结果不是有理数，那就是除以0。总之，有理数本身，对加减乘除是自封的。

仅有理数够不够呢？不够！例如根号2就不可能是有理数，这说明有理数是不完整的。所以整个“数”的系统，给它一个定义，叫实数系统。实数系统也有这个性质，即对加减乘除自封。

可是，实数系统就完整了吗？还不完整。例如在求解方程的过程中，可能没有实根，但是有虚根，所以实根之外又出现一种数，叫做复数。复数对加减乘除也是自封的。

自此之后，凡是一批数或一批抽象的东西，如果里面可以定义加减乘除并且是自封的，高等数学就叫它域。

最后讲面积，包括长方形、三角形、多角形、圆的面积。

上述是华罗庚关于初等数学的总结。华罗庚是我国最博学的数学家，他总观全局，把初等数学讲得这么少（精炼），使我们学习数学更有信心。

但是华罗庚没有具体讲高等数学（微积分）。

微积分讲什么呢？是否还是应该讲面积？如果我们还是把一般图形（如曲边梯形）分成许多长方形，不仅计算量大，而且分得再多也有疏漏，这是不得已的方案。

“牛顿”们不是这么做的。他们开始不是求面积，他们求瞬时速度，只看一个时刻。但在某一时刻，时间与路程都等于0：

，怎么算？我们给出一个算法：

即平均速度与瞬时速度之差与时间成正比地减少。于是，在短时间内，速度就变化不大，平均速度就代替了瞬时速度。

尤其是，当时间趋于0，则平均速度趋于瞬时速度，用看不用想。

注意，我们关心的正是时间趋于0时出现的极限，如今借助公式（1）求极限，避开了无穷小！

于是，公式（1）可改写为

|路程-瞬时速度×时间|≤(时间段) 的一个倍数

其中，瞬时速度×时间，可看作瞬时速度中的面积（相当于化曲为长方）。那么，路程为面积的近似值（时间的平方），那么很容易证明两者相同：路程=速度图的面积。

微积分把它写成：

二维面积变成了一维高，俗称：油饼面积变油条高。

通俗地讲，就像计算一块弯弯曲曲的油饼面积，既无需将油饼切成“无穷个”小油条，也无需将这“无穷个”小油条的面积再相加，一下子就能得到油饼的面积等于另一根油条的高，简称为：油饼面积=油条高。

原先，亿万次计算也算不准，如今，一次计算便准确到达。

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