标签：10 gcd int ll Codeforces leq 整除 Row GCD

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Description

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给出长度为 \(n\) 的数组 \(a\) 和长度为 \(m\) 数组 \(b\)，对于每一个 \(b_j\)，输出 GCD\((a_1 + b_j, \ldots, a_n + b_j)\)。

\(1 \leq n, m \leq 2 \cdot 10^5\), \(1 \leq a_i \leq 10^{18}\), \(1 \leq b_j \leq 10^{18}\)

Solution

首先要知道 \(gcd\) 有一个性质是 \(gcd(a,b) = gcd(a,b-a)\) , 然后其扩展为 \(gcd(x,y,z) = gcd(x,y-x,z-y)\)。

所以可以看出来原式 gcd\((a_1 + b_j, \ldots, a_n + b_j)\) 可以变为 gcd\(a-1 + b_j, a_2 - a_1,a_3 - a_2 \ldots, a_n - a_{n-1}\)。

所以除第一项外其它项都是定值，可以先求后面的gcd，然后遍历 \(b_j\) 分别求最大公约数即可。

下面是 \(gcd(x,y,z) = gcd(x,y-x,z-y)\) 的简单证明：

假设 \(d = gcd(x,y,z)\)，那么就有 \(d\) 能整除 \(x,y,z\),那么其必然能整除 \(x,y-x,z-y\)，，所以 \(d\) 是其约数，而 \(gcd\) 为最大公约数，可以得到 \(gcd(x,y,z) \leq gcd(x,y-x,z-y)\)

反过来若 \(d = gcd(x,y-x,z-y)\),那么 \(d\) 一定能整除 \(x\)，那么一定能整除 \((y-x)+x\)，所以可以得到 \(gcd(x,y,z) \geq gcd(x,y-x,z-y)\)

可以证得 \(gcd(x,y,z) = gcd(x,y-x,z-y)\)

Code

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 2e5+10;

ll g;
ll a[N];
ll b[N];

int main()
{
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) cin >> a[i];
    for (int i = 1 ; i <= m ; i ++ ) cin >> b[i];
    sort(a+1,a+1+n);
    for (int i = 2 ; i <= n ; i ++ )
    {
        g = __gcd(a[i]-a[i-1],g);
    }
    
    for (int j = 1; j <= m ; j ++ )
    {
        cout << __gcd(a[1]+b[j],g) << ' ';
    }
    return 0;
}

标签：10,gcd,int,ll,Codeforces,leq,整除,Row,GCD
来源： https://www.cnblogs.com/Crystar/p/14386919.html

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