标签：10 plt Xval 学习曲线 正则 cost 拟合 theta norm

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在本练习中，您将实现正则化的线性回归和多项式回归，并使用它来研究具有不同偏差-方差属性的模型.
在前半部分的练习中，你将实现正则化线性回归，以预测水库中的水位变化，从而预测大坝流出的水量。
在下半部分中，您将通过一些调试学习算法的诊断，并检查偏差 v.s. 方差的影响。
我们将从可视化数据集开始，其中包含水位变化的历史记录，x，以及从大坝流出的水量，y。
这个数据集分为了三个部分：
training set 训练集：训练模型
cross validation set 交叉验证集：选择正则化参数
test set 测试集：评估性能，模型训练中不曾用过的样本
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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.io import loadmat
import scipy.optimize as opt

# 读取数据
path = 'data/ex5data1.mat'  # 数据路径
data = loadmat(path)  # 加载数据
X, y = data['X'], data['y']  # 获取 训练集
Xval, yval = data['Xval'], data['yval']  # 获取 交叉验证集
Xtest, ytest = data['Xtest'], data['ytest']  # 训练集
X = np.insert(X, 0, 1, axis=1)  # X的第一列插入1
Xval = np.insert(Xval, 0, 1, axis=1)  # Xval的第一列插入1
Xtest = np.insert(Xtest, 0, 1, axis=1)  # Xtest的第一列插入1
# 打印X，Xval，Xtest的大小
# print('X={},y={}'.format(X.shape, y.shape))
# print('Xval={},yval={}'.format(Xval.shape, yval.shape))
# print('Xtest={},ytest={}'.format(Xtest.shape, ytest.shape))
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结果：
X=(12, 2),y=(12, 1)
Xval=(21, 2),yval=(21, 1)
Xtest=(21, 2),ytest=(21, 1)
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def plotData():  # 将训练集的数据可视化为散点图
    plt.figure(figsize=(8, 5))  # 图大小
    plt.scatter(X[:, 1:], y, c='r', marker='x')  # X轴，y轴，颜色，点样式
    plt.xlabel('Change in water level (x)')
    plt.ylabel('Water flowing out of the dam (y)')
    plt.grid(True)  # 生成网格


# plotData() #运行画图函数
# plt.show()

# 计算带正则化项的线性代价值
def costReg(theta, X, y, l):
    """
        不正则化 theta0
        theta:(n+1,)
        X:(m, n+1)
        y:(m, 1)
    """
    cost = ((X @ theta - y.flatten()) ** 2).sum()
    regterm = l * (theta[1:] @ theta[1:])  # 正则化项
    return (cost + regterm) / (2 * len(X))  # 返回带正则化项的线性代价值


# 使用theta=[1，1]，lambda = 1运行代价计算
# theta = np.ones(X.shape[1])  # [1,1]
# print(costReg(theta, X, y, l=1))  # 结果：303.9931922202643


# 计算带正则化项的线性梯度值
def gradientReg(theta, X, y, l):
    """
        不正则化 theta0
        theta:(n+1,) theta:(2,)
        X:(m, n+1) X: (12, 2)
        y:(m, 1)  y: (12, 1)
        返回结果：(2,)
    """
    grad = (X @ theta - y.flatten()) @ X
    regterm = l * theta  # 正则化项
    regterm[0] = 0
    return (grad + regterm) / len(X)  # 返回带正则化项的线性梯度值


# 使用theta=[1，1]，lambda = 1运行梯度计算
# theta = np.ones(X.shape[1])
# print(gradientReg(theta, X, y, 1))  # 结果：[-15.30301567 598.25074417]

# 拟合线性回归
def trainLinearReg(X, y, l):
    theta = np.ones(X.shape[1])  # 初始化theta为[1，1]
    res = opt.minimize(fun=costReg, x0=theta, args=(X, y, l), method='TNC', jac=gradientReg)
    return res.x  # 结果返回优化后的theta:(2,)


fit_theta = trainLinearReg(X, y, 0)
print('优化后的theta:', fit_theta)  # 结果：[13.08790367  0.36777923]
plotData()
plt.plot(X[:, 1:], X @ fit_theta)  # 画线性拟合直线

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这里我们把λ = 0，因为线性回归只有两个参数，这么低的维度，正则化并没有用。
从图中可以看到，拟合最好的这条直线告诉我们这个模型并不适合这个数据。
接下来，您将实现一个函数来生成学习曲线，它可以帮助您调试学习算法。
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机器学习中一个重要的概念是偏差（bias）和方差（variance）的权衡。
高偏差意味着欠拟合，高方差意味着过拟合。
在这部分练习中，您将在学习曲线上绘制训练误差和验证误差，以诊断bias-variance问题。
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训练样本数量从1开始逐渐增加，训练出不同的参数向量θ。
接着通过交叉验证样本Xval计算验证误差。
切记此时不要使用正则化，将λ=0。
计算交叉验证代价时记得整个交叉验证集来计算。
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# 画出学习曲线，即交叉验证误差和训练误差随样本数量的变化的变化
def plot_learning_curve(X, y, Xval, yval, l):
    xx = range(1, len(X) + 1)  # [1,2,3,4,...,12]
    training_cost, cv_cost = [], []
    for i in xx:
        res = trainLinearReg(X[:i], y[:i], l)  # 样本数量逐层增加,res存储每次的theta值
        training_cost_i = costReg(res, X[:i], y[:i], 0)  # 训练集代价
        cv_cost_i = costReg(res, Xval, yval, 0)  # 交叉验证集代价
        training_cost.append(training_cost_i)
        cv_cost.append(cv_cost_i)
    # 画学习曲线图
    plt.figure(figsize=(8, 5))
    plt.plot(xx, training_cost, label='training cost')
    plt.plot(xx, cv_cost, label='cv cost')
    plt.legend()
    plt.xlabel('Number of training examples')
    plt.ylabel('Cost')
    plt.title('Learning curve for linear regression')
    plt.grid(True)


plot_learning_curve(X, y, Xval, yval, l=0)
# 从图中看出来，随着样本数量的增加，训练误差和交叉验证误差都很高，这属于高偏差，欠拟合。


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我们的线性模型对于数据来说太简单了，导致了欠拟合(高偏差)。
接下来，您将通过添加更多的特性来解决这个问题。

数据预处理:
X，Xval，Xtest都需要添加多项式特征，这里我们选择增加到6次方(不要忘了标准化)。
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def genPolyFeatures(X, power):
    """ 添加多项式特征:
        每次在最后一列插入第二列的 2,3,...,power 次方（第一列为偏置）
        从二次方开始插入（因为本身含有一列一次方）
    """
    Xpoly = X.copy()  # 浅拷贝
    for i in range(2, power + 1):
        Xpoly = np.insert(Xpoly, Xpoly.shape[1], np.power(Xpoly[:, 1], i), axis=1)  # 按列插入
    return Xpoly  # 返回添加多项式特征后的数据集


def get_means_std(X):
    """
    获取训练集的均值和误差，用来标准化所有数据。
    """
    means = np.mean(X, axis=0)  # 对各列求均值，返回 1* n 矩阵
    """
    numpy.mean(a, axis, dtype, out，keepdims )
    函数功能：求取均值
    经常操作的参数为axis，以m * n矩阵举例：
    axis 不设置值，对 m*n 个数求均值，返回一个实数
    axis = 0：压缩行，对各列求均值，返回 1* n 矩阵
    axis =1 ：压缩列，对各行求均值，返回 m *1 矩阵
    """
    stds = np.std(X, axis=0, ddof=1)  # 计算每一列的无偏样本标准差
    """
    numpy.std(a, axis=None, dtype=None, out=None, ddof=0, keepdims=<no value>)
    函数功能：求标准差
    axis=0时，表示求每一列标准差
    axis=1时，表示求每一行标准差
    axis=None时，表示求全局标准差。
    
    ddof=0时，计算有偏样本标准差
    (一般在拥有所有数据的情况下，计算所有数据的标准差时使用，即最终除以n)
    ddof=1时，表示计算无偏样本标准差
    (最终除以n-1)
    """
    return means, stds


def featureNormalize(myX, means, stds):
    """标准化
    所有数据集应该都用训练集的均值和样本标准差处理。
    """
    X_norm = myX.copy()
    X_norm[:, 1:] = X_norm[:, 1:] - means[1:]
    X_norm[:, 1:] = X_norm[:, 1:] / stds[1:]
    return X_norm


# 获取添加多项式特征以及标准化之后的数据集。
power = 6  # 扩展到x的6次方
train_means, train_stds = get_means_std(genPolyFeatures(X, power))  # 获得训练集的均值和标准差
X_norm = featureNormalize(genPolyFeatures(X, power), train_means, train_stds)  # 扩展特征后的训练集
Xval_norm = featureNormalize(genPolyFeatures(Xval, power), train_means, train_stds)  # 扩展特征后的交叉验证集
Xtest_norm = featureNormalize(genPolyFeatures(Xtest, power), train_means, train_stds)  # 扩展特征后的测试集


# 画出多项式回归的拟合曲线
def plot_fit(means, stds, l):
    theta = trainLinearReg(X_norm, y, l)  # 得到扩大特征后的训练集的最优theta值 (7, )
    print('此时的theta:', theta)
    x = np.linspace(-75, 55, 50)  # 50表示要生成的样本数
    xmat = x.reshape(-1, 1)  # 重塑成一列 (50,1)
    xmat = np.insert(xmat, 0, 1, axis=1)  # 在第一列插入1 (50,2)
    Xmat = genPolyFeatures(xmat, power)  # 扩大特征 (50,7)
    Xmat_norm = featureNormalize(Xmat, means, stds)  # 标准化

    plotData()  # 画原数据散点图
    plt.plot(x, Xmat_norm @ theta, 'b--')  # 画拟合曲线


plot_fit(train_means, train_stds, 0)
# 此时的theta: [ 11.21817067  11.36845531  13.44911626  10.73084633  -4.44505759  -11.89800257  -5.06836084]
plot_learning_curve(X_norm, y, Xval_norm, yval, 0)

plot_fit(train_means, train_stds, 100)
# 此时的theta: [11.21758894  0.98876228  0.30025154  0.77917857  0.11521526  0.5903675  -0.0118514 ]
plot_learning_curve(X_norm, y, Xval_norm, yval, 100)
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l=0时，不进行正则化，图像显示过拟合特征。
l=100时，惩罚过多，图像显示欠拟合特征。
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# 使用交叉验证集来选择最合适的正则化lambda值
lambdas = [0., 0.001, 0.003, 0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1., 3., 10.]  # lambda候选值
error_train, error_val = [], []
for l in lambdas:
    theta = trainLinearReg(X_norm, y, l)
    error_train.append(costReg(theta, X_norm, y, 0))  # 这里计算error时，令l=0
    error_val.append(costReg(theta, Xval_norm, yval, 0))
    '''
    正则化是用来进行梯度下降的，惩罚某些特征。
    当梯度下降完成，用得到的最优参数计算损失函数，就不用正则化那一项了。
    因此这里计算error时，令l=0。
    '''

l = lambdas[np.argmin(error_val)]  # np.argmin(error_val)：获得error_val最小值处的索引号
print('最优lambda值为:', l)
theta = trainLinearReg(X_norm, y, l)
print('此时theta值为：', theta)
print('test cost=', costReg(theta, Xtest_norm, ytest, 0))
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运行结果：
最优lambda值为: 3.0
此时theta值为： [11.21758982  6.77857869  3.98943697  3.99183811  2.24949203  2.45682122  1.25070152]
test cost= 4.755261169964735

若power=8，则结果为：
最优lambda值为: 3.0
此时theta值为： [11.2175881   6.65682303  3.89421607  3.75899131  2.25315894  2.20639341  1.33198932  1.35014165  0.76188972]
test cost= 3.859893821669393
'''

# 画lambda-cost图
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(lambdas, error_train, label='Train')
plt.plot(lambdas, error_val, label='Cross Validation')
plt.legend()
plt.xlabel('lambda')
plt.ylabel('Error')
plt.grid(True)
plt.show()

运行结果：

线性回归及其学习曲线：



多项式回归及其学习曲线：

过拟合：


欠拟合：


lambda的选取：

正则化代价函数：

正则化线性梯度值:

训练集代价函数:

多项式回归:

linspace函数:

reshape函数:
在创建DataFrame的时候常常使用reshape来更改数据的列数和行数。
在使用了reshape（-1，1）之后，数据集变成了一列。reshape(1,-1)变成了一行。

标签：10,plt,Xval,学习曲线,正则,cost,拟合,theta,norm
来源： https://blog.csdn.net/qq_43632490/article/details/113353560

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