标签：字符 LCS else comeFrom let result 序列 dp

本文转载自：进击的大前端《前端也能学算法：由浅入深讲解动态规划》–蒋鹏飞 Dennis的部分内容

一、分析

上述问题也可以用暴力穷举来求解，先列举出X字符串所有的子串，假设他的长度为m，则总共有种情况，因为对于X字符串中的每个字符都有留着和不留两种状态，m个字符的全排列种类就是种。那对应的Y字符串就有种子串, n为Y的长度。然后再遍历找出最长的公共子序列，这个复杂度非常高，我这里就不写了。

我们观察两个字符串，如果他们最后一个字符相同，则他们的LCS（最长公共子序列简写）就是两个字符串都去掉最后一个字符的LCS再加一。因为最后一个字符相同，所以最后一个字符是他们的子序列，把他去掉，子序列就少了一个，所以他们的LCS是他们去掉最后一个字符的字符串的LCS再加一。如果他们最后一个字符不相同，那他们的LCS就是X去掉最后一个字符与Y的LCS，或者是X与Y去掉最后一个字符的LCS，是他们两个中较长的那一个。写成数学公式就是：

看着这个公式，一个规模为(i, j)的问题转化为了规模为(i-1, j-1)的问题，这不就又可以用递归求解了吗？

二、代码

动态规划
递归虽然能实现我们的需求，但是复杂度实在太高，长一点的字符串需要的时间是指数级增长的。我们还是要用动态规划来求解，根据我们前面讲的动态规划原理，我们需要从小的往大的算，每算出一个值都要记下来。因为c(i, j)里面有两个变量，我们需要一个二维数组才能存下来。注意这个二维数组的行数是X的长度加一，列数是Y的长度加一，因为第一行和第一列表示X或者Y为空串的情况。代码如下：

function lcs2(str1, str2) {
  let length1 = str1.length;
  let length2 = str2.length;
  
  // 构建一个二维数组
  // i表示行号，对应length1 + 1
  // j表示列号， 对应length2 + 1
  // 第一行和第一列全部为0
  let result = [];
  for(let i = 0; i < length1 + 1; i++){
    result.push([]); //初始化每行为空数组
    for(let j = 0; j < length2 + 1; j++){
      if(i === 0) {
        result[i][j] = 0; // 第一行全部为0
      } else if(j === 0) {
        result[i][j] = 0; // 第一列全部为0
      } else if(str1[i - 1] === str2[j - 1]){
        // 最后一个字符相同
        result[i][j] = result[i - 1][j - 1] + 1;
      } else{
        // 最后一个字符不同
        result[i][j] = result[i][j - 1] > result[i - 1][j] ? result[i][j - 1] : result[i - 1][j];
      }
    }
  }
  
  console.log(result);
  return result[length1][length2]
}

let result = lcs2('ABCBDAB', 'BDCABA');
console.log(result);   // 4

上面的result就是我们构造出来的二维数组，对应的表格如下，每一格的值就是c(i, j)，如果，则它的值就是他斜上方的值加一，如果，则它的值是上方或者左方较大的那一个。

输出最长公共子序列
要输出LCS，思路还是跟前面切钢条的类似，把每一步操作都记录下来，然后再回溯。为了记录操作我们需要一个跟result二维数组一样大的二维数组，每个格子里面的值是当前值是从哪里来的，当然，第一行和第一列仍然是0。每个格子的值要么从斜上方来，要么上方，要么左方，所以：

1. 我们用1来表示当前值从斜上方来
2. 我们用2表示当前值从左方来
3. 我们用3表示当前值从上方来

function lcs3(str1, str2) {
  let length1 = str1.length;
  let length2 = str2.length;
  
  // 构建一个二维数组
  // i表示行号，对应length1 + 1
  // j表示列号， 对应length2 + 1
  // 第一行和第一列全部为0
  let result = [];
  let comeFrom = [];   // 保存来历的数组
  for(let i = 0; i < length1 + 1; i++){
    result.push([]); //初始化每行为空数组
    comeFrom.push([]);
    for(let j = 0; j < length2 + 1; j++){
      if(i === 0) {
        result[i][j] = 0; // 第一行全部为0
        comeFrom[i][j] = 0;
      } else if(j === 0) {
        result[i][j] = 0; // 第一列全部为0
        comeFrom[i][j] = 0;
      } else if(str1[i - 1] === str2[j - 1]){
        // 最后一个字符相同
        result[i][j] = result[i - 1][j - 1] + 1;
        comeFrom[i][j] = 1;      // 值从斜上方来
      } else if(result[i][j - 1] > result[i - 1][j]){
        // 最后一个字符不同,值是左边的大
        result[i][j] = result[i][j - 1];
        comeFrom[i][j] = 2;
      } else {
        // 最后一个字符不同,值是上边的大
        result[i][j] = result[i - 1][j];
        comeFrom[i][j] = 3;
      }
    }
  }
  
  console.log(result);
  console.log(comeFrom);
  
  // 回溯comeFrom数组，找出LCS
  let pointerI = length1;
  let pointerJ = length2;
  let lcsArr = [];   // 一个数组保存LCS结果
  while(pointerI > 0 && pointerJ > 0) {
    console.log(pointerI, pointerJ);
    if(comeFrom[pointerI][pointerJ] === 1) {
      lcsArr.push(str1[pointerI - 1]);
      pointerI--;
      pointerJ--;
    } else if(comeFrom[pointerI][pointerJ] === 2) {
      pointerI--;
    } else if(comeFrom[pointerI][pointerJ] === 3) {
      pointerJ--;
    }
  }
  
  console.log(lcsArr);   // ["B", "A", "D", "B"]
  //现在lcsArr顺序是反的
  lcsArr = lcsArr.reverse();
  
  return {
    length: result[length1][length2], 
    lcs: lcsArr.join('')
  }
}

let result = lcs3('ABCBDAB', 'BDCABA');
console.log(result);   // {length: 4, lcs: "BDAB"}

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来源： https://blog.csdn.net/wenrenfudi/article/details/112687241

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