标签:frac sqrt mu leq 转换 概率论 pi sigma 正态分布
概率论 - 正态分布和标准正态分布的转换
引理
若随机变量 \(X\backsim N(\mu,\sigma^2)\),则 \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\backsim N(0,1)\)
证明
由\(X\backsim N(\mu,\sigma^2)\),得 \(P(X\leq x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\)
而 \(P(Z\leq x)=P(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq x)=P(X\leq x\sigma+\mu)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(x\sigma + \mu-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\)
记 \(F(x)=P(X\leq x)\),\(H(x)=P(Z\leq x)\),
则有
\(H(x)=F(x\sigma+\mu)\)
两边关于 \(x\) 取导,有:
\(h(x)=\sigma f(x\sigma+\mu)\)
\(=\sigma (\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{x^2}{2}}dx)'\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)
\(=\varphi(x)\)
得证。
标签:frac,sqrt,mu,leq,转换,概率论,pi,sigma,正态分布 来源: https://www.cnblogs.com/amazing-1/p/13907039.html
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