标签：椭圆 frac gcd 整点 LL 3i BZOJ4544 2n define
- 给定\(n\)，求关于\(x,y\)的方程\(x^2+3y^2=n^2\)整数解个数。
- 数据组数\(\le10,n\le10^{12}\)
这道题被某毒瘤出题人搬去当学校\(CSP\)模拟赛的题目了。
本来半个多小时就做出来了，结果因为一个i*i没转long long，极限数据直接死循环T飞。
害得我一直以为自己式子没推完，复杂度不正确，整整搞了两个多小时，幸好最后几分钟发现问题改了出来。。。
这里写篇题解纪念一下。
基本技巧
首先，\(x=±n,y=0\)这两组解显然对于任意\(n\)恒成立，而\(x=0\)时显然找不到整数解。
然后若非零的\((x,y)\)为一组解，则\((x,-y),(-x,y),(-x,-y)\)显然都是解。
所以我们只要求出\(x>0,y>0\)时的解数，乘\(4\)加\(2\)就是答案了。
推式子
考虑\(n^2\)是一个很大的数，令\(a=n-x\)，则原式变成：
\[(n-a)^2+3y^2=n^2\Leftrightarrow -2na+a^2+3y^2=0\Leftrightarrow 3y^2={a(2n-a)} \]设\(d=gcd(a,2n-a)=gcd(a,2n)\)。
如果我们把\(a,2n-a\)两式同除以\(d\)，那么得到的\(\frac ad,\frac{2n-a}d\)必然互质。
互质的两数相乘是一个平方数的\(3\)倍，则这两个数必然一个是平方数，一个是某平方数的\(3\)倍。
不妨设\(\frac ad=3i^2,\frac{2n-a}d=j^2(i,j\in N^*,gcd(3i,j)=1)\)，发现：
\[\frac ad+\frac{2n-a}d=3i^2+j^2\Leftrightarrow \frac{2n}d=3i^2+j^2 \]显然如果设\(\frac ad=j^2,\frac{2n-a}d=3i^2\)也会得到一样的结果。（注意这里方案数不用乘\(2\)，因为\(a<2n-a\)，二者无法互换）
故考虑去枚举所有的\(d|(2n)\)，既然枚举了所有\(d\)，那么这个式子其实也可以变成求\(d=3i^2+j^2\)符合条件的\(i,j\)的解数。
因此，只要再在\(\sqrt{\frac d3}\)范围内去枚举\(i\)，判断是否有对应的符合条件的\(j\)即可求出总解数了。
时间复杂度大概是\(O(Tn^{\frac 34})\)（这也是我一直以为自己式子没推完的原因），看起来很假，但实际上显然跑不满。
代码：\(O(Tn^{\frac 34})\)
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define LL long long
#define S 1000000
using namespace std;
int A,B;LL ans,n,a[S+5],b[S+5];
I LL gcd(Con LL& x,Con LL& y) {return y?gcd(y,x%y):x;}
I void Work(Con LL& d)//求3i^2+j^2=d的符合条件的解数
{
LL x,y;for(RI i=1;(x=3LL*i*i)<d;++i)//暴枚i
y=sqrt(d-x),x+y*y==d&&gcd(i,y)==1&&y%3&&(ans+=4);//存在对应的j，且gcd(3i,j)=1
}
int main()
{
RI Tt,i;scanf("%d",&Tt);W(Tt--)
{
for(scanf("%lld",&n),ans=2,i=1;1LL*i*i<=2*n;++i)//暴枚2n的因数
!(2*n%i)&&(Work(i),i^(2*n/i)&&(Work(2*n/i),0));printf("%lld\n",ans);
}return 0;
}
标签：椭圆,frac,gcd,整点,LL,3i,BZOJ4544,2n,define 来源： https://www.cnblogs.com/chenxiaoran666/p/BZOJ4544.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。