题目
题解
又是一个简（e）单（xin）题，思路不难想，但是证明是真的难啊，不过yxc的视频讲解也是真的好啊。
我的思路是对于\(r\)从小到大排序，然后对于防晒霜也从小到大排序，然后对于目前的防晒霜看看有没有区间包括它的，包括就选。（优先选\(r\)小的）
当然，题解大量的思路都是\(l\)递减，然后看看这个区间有没有防晒霜，有优先选\(SPF\)值大的。
为什么是对的呢？（下面都按照大多数人的思想走）
一个比较形象的思路就是：由于\(l\)递减，\(SPF\)越大的防晒霜在后面选择会越来越少，所以优先选大的，而且对于\(x,y(SPF[x]<SPF[y])\)防晒霜而言，后面如果覆盖了\(y\)号防晒霜那也肯定覆盖了\(x\)号防晒霜，所以选\(SPF\)最大的防晒霜是最优的。
那么严谨的证明是什么呢？
我们把问题化成二分图匹配的问题，然后证明我们这样子做没有增广路径就行了（不懂的看视频或者上网看），而对于\(cover[i]\)，我们就认为有\(cover[i]\)个这样的点就行了。
\(c_i\)表示第\(i\)头牛，\(s_i\)表示第\(i\)个防晒霜，那么如果存在增广路径的话，我们找到其中的一条最短的增广路径（注：\(a_i\)仅仅表示第\(i\)个点的下标，并无实际意义）：
\(s_{a_{0}}→c_{a_{1}}→s_{a_{2}}→...→c_{a_k}\)
那么可以说明\(c_{a_{0}}\)和\(s_{a_k}\)是没有匹配过的点。
考虑一下\(SPF[a_0]\)和\(SPF[a_2]\)的大小关系，\(c_{a_1}\)包括这两个防晒霜，根据算法大的优先，所以\(SPF[a_0]≤SPF[a_2]\)。
接下来我们再来研究一下\(a_1\)和\(a_3\)的大小关系。
有没有可能\(a_1<a_3\)？
也就是说我们的\(s_{a_2}\)跑去找了后面的牛。
由于的大优先，这样的话下面那个蓝色的防晒霜也就是\(SPF[a_4]\)肯定也是大于\(SPF[a_0]\)，那这样子的话为什么不直接让\(s_{a_0}\)去占\(s_{a_4}\)的位置把\(s_{a_4}\)弹出啊，这样还能少两个点：\(s_{a_2}\)和\(c_{a_1}\)，这样就违反了我们最小增广路径的设定了。
所以\(a_1>a_3\)。
而后面的也可以像这样子无限推下去，知道\(a_k=1\)，等会！\(1\)号牛没有匹配？可是\(1\)号牛优先级最高啊，矛盾，所以不成立。
还有人问有没有可能是\(c_{a_{0}}→s_{a_{1}}→c_{a_{2}}→...→s_{a_k}\)这样子的最短增广路径呢，但是由于前面的优先级比后面的优先级高，所以\(a_0\)不可能小于\(a_2\)，所以\(a_0>a_2\)。抢完之后呢，\(c_{a_2}\)就十分的迷茫了，它要找那个防晒霜呢，假设找到了\(x\)号防晒霜，\(SPF[x]<SPF[a_2]\)，那么肯定是被是被\([a_2+1,a_0-1]\)的牛给匹配了（不然\(a_0\)就会匹配到\(x\)），那么这样，我们我们可以直接让\(c_{a_0}\)直接去抢\(c_{a_4}\)的啊，这样还能少\(a_1\)和\(a_2\)呢，又违反了最短，而如果\(SPF[x]≥SPF[a_2]\)，确实可以成立，但是又跟上面第一个证明一样，这两条结论一成立，无限推下去知道找到\(1\)号牛，矛盾。
所以是对的。
巧妙的把贪心化成二分匹配进行证明，妙啊。
当然我的思路其实是和它差不多的，所以也可以认为是对的。
代码
时间复杂度：\(O(n^2+m)\)。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 3100
using namespace std;
struct node
{
int x,y;
}a[N],b[N];int n,m;
bool v[N];
inline bool cmp1(node x,node y){return x.y==y.y?(x.x<y.x):(x.y<y.y);}
inline bool cmp2(node x,node y){return x.x<y.x;}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&b[i].x,&b[i].y);
sort(a+1,a+n+1,cmp1);
sort(b+1,b+m+1,cmp2);
int ans=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
for(int k=1;k<=b[i].y;k++)
{
bool bk=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(!v[j] && a[j].x<=b[i].x && a[j].y>=b[i].x)
{
v[j]=1;
ans++;
bk=1;
break;
}
}
if(!bk)break;
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
最后
这里说一下，其实找到区间内的最小的数字或者找数字可以匹配的\(r\)最小的区间编号是可以直接用权值线段树的，懒得打了，是可以优化到\(O(nlogn)\)。
当然也可以用https://www.acwing.com/solution/content/785/所用的二分法来找，也是\(O(nlogn)\)的。
标签：优先,匹配,防晒,增广,路径,防晒霜,SPF 来源： https://www.cnblogs.com/zhangjianjunab/p/13418881.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。