标签：长链 加强版 剖分 int len 枚举 bson include define

传送门

神仙题。。简单版本很好做，做法也很多。
加强版\(n\leq 10^5\)，显然之前的\(O(n^2)\)的做法时间、空间复杂度都不能承受。
考虑维护以深度有关的\(dp\):

• \(f[i][j]\)表示以\(i\)为根节点的子树中，深度为\(j\)的点有多少个。

显然这个很好维护，转移\(\displaystyle f[i][j]=\sum_{k}f[k][j-1]\)，我们可以用长链剖分加速。
因为我们要枚举\(3\)个点，现在还需要一个\(dp\)维护另外两个点的信息。

• \(g[i][j]\)表示以\(i\)为根节点的子树中，点对\((x,y)\)的个数有多少个，点对要满足\(x,y,x\not ={y}\)到\(lca\)的距离相等，并且从\(lca\)到\(i\)这段距离为\(d-j\)。也就是说还需要一条长度为\(j\)的链进行匹配。

考虑如何转移：

• 显然可以直接从儿子进行转移，即\(g[i][j]=g[k][j+1]\)；
• 从不同儿子子树中选取两个：\(g[i][j]=f[k_1][j-1]*f[k_2][j-1]\)。此时两个结点的\(lca\)一定为\(i\)。

注意第一种转移跟深度有关系，但是和之前有点区别，此处我们还是可以通过长链剖分来进行优化；第二种转移可以直接进行枚举，这里枚举的深度会受到限制，总的枚举次数为\(O(长链长度)\)。

之后考虑如何维护答案。
显然最终的答案有两种情况：

• 中心点为某一个结点，此时答案为\(g[i][0]\)；
• 中心点不为某一个结点，此时答案为\(f[i][j]*g[k][j+1]+f[k][j-1]*g[i][j]\)。主要就考虑了\((2,1),(1,2)\)这两种情况，其实\((1,1,1)\)这种也考虑了的，但已经被包含入\((2,1)\)了。

以上过程我们在一边枚举轻儿子时一边进行转移&统计答案。
注意\(g[i][0]\)要先加上，否则可能会重复统计。
细节见代码：

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/10 23:23:27
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;

int n;
vector <int> G[N];

ll *f[N], *g[N], ans;
ll tmp[N << 2], *id = tmp;

int len[N], bson[N];
void dfs(int u, int fa) {
    int Max = 0;
    for (auto v : G[u]) if (v != fa) {
        dfs(v, u);
        if (len[v] > Max) {
            Max = len[v];
            bson[u] = v;
        }
    }
    len[u] = len[bson[u]] + 1;
}
void dfs2(int u, int fa) {
    f[u][0] = 1;
    if (bson[u]) {
        //处理重链
        int v = bson[u];
        f[v] = f[u] + 1;
        g[v] = g[u] - 1;
        dfs2(v, u);
    }
    ans += g[u][0];
    for (auto v : G[u]) {
        if (v == fa || v == bson[u]) continue;
        //分配空间
        f[v] = id, id += (len[v] << 1);
        g[v] = id, id += (len[v] << 1);
        dfs2(v, u);
        //从轻链转移
        for (int i = 0; i < len[v]; i++) {
            ans += f[v][i] * g[u][i + 1];
            if (i) {
                ans += f[u][i - 1] * g[v][i];
            }
        }
        for (int i = 1; i <= len[v]; i++) {
            if (i < len[v]) {
                g[u][i - 1] += g[v][i];
            }
            g[u][i] += f[u][i] * f[v][i - 1];
            f[u][i] += f[v][i - 1];
        }
    }
}
void run() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int u, v; cin >> u >> v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, 0);
    f[1] = id, id += (len[1] << 1);
    g[1] = id, id += (len[1] << 1);
    dfs2(1, 0);
    cout << ans << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    run();
    return 0;
}

标签：长链,加强版,剖分,int,len,枚举,bson,include,define
来源： https://www.cnblogs.com/heyuhhh/p/13113392.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。