标签：... 符号 二进制 sum B2T 补码 再谈 cdot
写在前面：此文章不是介绍补码的基础知识，在您向下阅读之前，确保已经对数据的二进制表示有一定的了解，否则请勿浪费时间。
在初学计算机组成原理 (ICS) 的时候，入门的第一课便是数据的编码表示，其中一个重要的部分就是补码 (Complement) 。
在学习补码时，有个结论是经常提到的，而且要求我们记住：
正数的补码是其二进制表示本身，负数的补码是对应正数补码的按位取反再加一。
这个结论等价于：对于某个整型 \(k\) ，\(k\) 的相反数：-k = ~k + 1 。
在大二学习 ICS 这门课的时候，我经常使用这个结论去写出负数的补码（先写正数的补码，然后按位取反再加一）。
但同时我有一个「坏习惯」，当我想把某个负数的补码转换为 10 进制表示时，我总是先把补码按位取反再加一，然后求出正数，即可求得负数。
在学习 CMU 的 15213-CSAPP 的 Course 时，从另外一种角度来理解补码似乎更符合我的思维习惯。
设 \(X=x_{w-1} ... {x_0}\) 是一个比特串，如果将 \(X\) 视作是一个无符号数 (unsigned) ，那么有：
\[
B2U(X) = \sum_{i=0}^{w-1}x_i \cdot 2^i
\]
如果将 \(X\) 视作是一个有符号数 (signed) ，那么有：
\[
B2T(X)= -x_{w-1} \cdot 2^{w-1} + \sum_{i=0}^{w-2} x_i \cdot 2^i
\]
下面是这个公式给我带来的几点启示。
特殊值
对于 32 位的 int ，我们知道 int x = 0x80000000 表示的是十进制中的 -2147483648 。
大一上 C 语言的时候，老师当时的解释：最高位表示的是符号位，因此按「道理」来说， 0x00000000 表示 +0 而 0x80000000 表示 -0 ，但是 0 只需要一种编码表示就够了，所以把 0x80000000 这个负数的编码「分配」给 -2147483648 。同时也是为了满足计算机的「模运算」系统（大溢出变小，小溢出变大），即：
0x80000000 - 1 = 0x7fffffff0x7fffffff + 1 = 0x80000000
这种解释对我来说总感觉难以接受，很别扭的感觉。
但是采用上述公式 \(B2T(X)\) 就很好地把所有的二进制编码 统一 映射到我们的十进制数了，整型范围内无一例外。
补码转十进制
假设有 \((10011)_2\) 这个比特串，将其视作有符号数解释。原来没有这个公式，不容易看出对应的十进制数值。原来我是这么转换的：
k = 10011
~k = 01100
~k+1 = 01101 = 13可得 \(k=-13\) 。
现在有了上述公式，就可以口算：-16 + 3 = -13 。至少对我说，这个效率的提升是显然的（当 \(k\) 有 32 位的时候更加明显）。
补码比较大小
设 \(a=(10011)_{2}\) , \(b=(10101)_{2}\) ，将其均视作有符号数解释。原来我的做法是先转换为十进制，然后再比较大小。但根据上述公式 \(B2T(X)\) ，可以看出，公式的 \(x_{w-1} \cdot 2^{w-1} = -16\) 部分是相等的，所以只需比较后半部分，而 0011 < 0101，因此显然可以得出 \(a < b\) 。
这就省略了转换十进制的繁琐过程。
符号扩展和位截断
符号扩展，在之前我有一点难以理解。比如：
int8_t x0 = -8; // 1111 1000
int16_t x1 = x0; // 1111 1111 1111 1000显然，x1 的值也是 -8 ，但是我一直很迷惑这其中的原理，怎么证明符号扩展（整数扩展补 0 ，负数扩展补 1）后的值不变？对正数来说是显然的；对于负数，我们可以从其绝对值考虑 abs(k) = ~k + 1，所以只需要证明 ~k 的值不变即可，这也显然成立。
下面尝试用上述公式证明。设比特串 \(X_1 = x_{n_{1}-1} ... x_0\)，现在将 \(X_1\) 扩展为 \(n_2\) 位长的有符号数 \(X_2\) 。
| Index | \(n_2 - 1\) | ... | \(n_1 - 1\) | ... | 0 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(X_1\) | \(null\) | \(...null...\) | \(1\) | \(x_{n_1-2} ... x_1\) | \(x_0\) |
| \(X_2\) | \(1\) | \(...111...\) | \(1\) | \(x_{n_1-2} ... x_1\) | \(x_0\) |
对于 \(X_1\) ：
\[ B2T(X_1) = -2^{n_1-1} + \sum_{i=0}^{n_1-2}x_i \cdot 2^i \]
对于 \(X_2\) ：
\[ \begin{align} B2T(X_2) &= -2^{n_2-1} + \sum_{i=0}^{n_2-2}x_i \cdot 2^i \\ &= -2^{n_2-1} + \sum_{i=n_1-1}^{n_2-2}2^i + \sum_{i=0}^{n_1-2}x_i \cdot 2^i \\ &= -2^{n_2-1} + \frac{2^{n_1-1}(1-2^{n_2-n_1})}{1-2} + \sum_{i=0}^{n_1-2}x_i \cdot 2^i \\ &= -2^{n_1-1} + \sum_{i=0}^{n_1-2}x_i \cdot 2^i \\ &= B2T(X_1) \end{align} \]
证毕。
对于上述 2 种证明方法，第一种显然更简单，但个人更喜欢第二种，更直观，更暴力(●=◡=●)。
有点可惜，自己本科上过关于编码的理论课程，但我觉得最初搞计算机，设计出「补码」这种编码方式的那些人实在太强大了。「补码」不仅统一了计算机中加减法的运算，而且对于 C 语言中符号扩展，位截断这些处理都变得十分简单。
对于「位截断」来说：
int16_t a = -99;
int8_t b = a;证明 b 的值仍然是 -99 的过程就是上述证明的逆过程。
标签：...,符号,二进制,sum,B2T,补码,再谈,cdot 来源： https://www.cnblogs.com/sinkinben/p/12377232.html
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