基本模型一： PINNs : Physics Informed Neural Networks

2020-01-14 21:37:12 阅读：1482 来源： 互联网

标签：differential partial 逼近 Neural Informed nonlinear PINNs PDE Networks

最开始当然要提到很经典的文章 —— Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations 。这篇文章是布朗大学的助理教授 Maziar Raissi 和学术大牛GE Karniadakis 一起写的，文章分为两部分，第一部分写的是 Data-driven solutions of nonlinear partial differential equations，就是在讲怎么解 PDEs（Partial Differential Equations），第二部分写的是 Data-driven discovery of nonlinear partial differential equations，就是在讲怎样解PDE的反问题 (带参数的PDE，参数需要在解的过程中求解出来)。由于其基本想法很接近，我们只谈第一部分，简略的讲第二部分。下面便进入正题。

监督学习是机器学习中的一个大类，很多分类问题，回归问题都可以用它来解决。那么，从求解PDE的角度来看，监督学习能发挥什么样的作用呢？

如何逼近一个函数（算子）一直以来便是数学中的难题。数学家们发展了很多工具来逼近函数，如插值理论，框架，谱方法，有限元等。从逼近论的角度来看，神经网络（Neural Networks）便可以看做一个非线性函数逼近器。我们期望输出一个数据，通过神经网络输出的值可以反应出输入数据的好坏，有效性等，从而有助于我们理解问题。假设我们限制神经网络输出的值是一维的，那么对于 binary classfication 来说，我们可以把大于 0 的分为一类，小于 0 的分为另一类。但是对于一个PDE来说，我们如何来判断输入数据的好坏呢？

给定一个非线性PDE

$u_t+\mathcal{N}[u;\lambda]=0,$

其中 $u(x,t)$ 是要求的解， $\mathcal{N}[u;\lambda ]$ 是非线性偏微分算子， $\lambda$ 是需要待定的参数。为简单起见，我们假设 $\mathcal{N}[u;\lambda]=\mathcal{N}(u)$ 。用一个具体的例子（Burgers方程）来说明主要的想法和步骤

定义 $f$ 为 $f= u_t+uu_x-(0.01/\pi)u_{xx},$ 利用 Neural Networks 来逼近 $u(x,t)$ 。定义损失函数为

其中

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来源： https://blog.csdn.net/waitingwinter/article/details/103979339

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