目录：
- 个人理解
- 时空复杂度分析
- 应用及例题
- 拓展
一、个人理解：
主席树的全称是可持续化权值线段树，是一种可以维护静态区间第K小的高级数据结构。
主席树的主要思想就是：保存每次插入操作时的历史版本，以便查询区间第 \(k\) 小。
因为主席树每次都要插入操作，所以是不能用堆式建树的（rt<<1 ,rt<<1|1），所以我们使用动态开点线段树，并用ls[]和rs[]保存当前节点的左右儿子。
联系前缀和，可以预处理达到 \(O(1)\) 的时间复杂度。我们发现主席树也满足这个性质，所以若需要统计 \([l,r]\) 的信息，只需要 \(O(1)\) 查询sum[r]-sum[l-1]即可。
二、时空复杂度分析：
时间复杂度：
同线段树的时间复杂度：\(O(n\text{log}n)\)
空间复杂度：
我们是动态开点，所以一颗线段树只会出现 \(2n-1\) 个节点，而每次插入会增加 \(O(n\text{log}n)\) 个节点，则最坏情况下会有 \(2n-1+O(n\text{log}n)\) 个节点。故空间复杂度为：\(O(n\text{log}n)\) 。
在实际运用的时候，
ls[],rs[],sum[]等数组都需要开 \(2^5\) 倍空间，即MAXN<<5(MAXN为 \(n\) 的值域)。注：在常数上减小内存消耗：
插入值时候先不要一次新建到底，能留住就留住，等到需要访问子节点时候再建下去。
这样理论内存复杂度依然是\(O(n\text{log}n)\)，但因为实际上很多结点在查询时候根本没用到，所以内存能少用一些。
————cyendra
三、应用及例题：
静态区间第K小(P3834 【模板】可持久化线段树 1（主席树）)
Description:
给定数列 \(\{a_n\}\) ,求闭区间 \([l,r]\) 的第 \(k\) 小的数。
Method:
先对数据进行离散化，然后按照权值建立线段树。
若要寻找 \([1,p]\) 的第 \(k\) 小，则从根节点开始处理。定义\(Son_{left}\) 表示左儿子的集合，\(Son_{right}\) 表示右儿子的集合。若 \(|Son_{left}|\ge k\) 时，说明第\(k\)小的数在左子树中，以左儿子为新的根向下递归更新，寻找左子树中第 \(k\) 小的数；反之，说明第\(k\)小的数在右子树中，以左儿子为新的根向下递归更新，寻找左子树中第 \(k-|Son_{left}|\) 小的数。
拓展一下，我们先预处理建树，得到 \(n+1\) 个版本的线段树（包括初始的线段树），编号为 \(0 \sim n\) 。
前文提到过，主席树满足前缀和查询的思想，故我们要求 \([l,r]\) 的第 \(k\) 小值，即可用
sum[r]-sum[l-1]。Code:
#include<bits/stdc++.h> #define int long long #define Maxn 200010 using namespace std; inline void read(int &x) { int f=1;x=0;char s=getchar(); while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();} while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();} x*=f; } int n,m; int ls[Maxn<<5],rs[Maxn<<5],sum[Maxn<<5],rt[Maxn]; int a[Maxn],ins[Maxn]; int len,tot=0; inline int getid(const int &x) { return lower_bound(ins+1,ins+len+1,x)-ins; } int build(int l,int r) { int root=++tot; if(l==r) return root; int mid=(l+r)/2; ls[root]=build(l,mid); rs[root]=build(mid+1,r); return root; } int update(int k,int l,int r,int root) { int dir=++tot; ls[dir]=ls[root],rs[dir]=rs[root],sum[dir]=sum[root]+1; if(l==r) return dir; int mid=(l+r)/2; if(k<=mid) ls[dir]=update(k,l,mid,ls[dir]); else rs[dir]=update(k,mid+1,r,rs[dir]); return dir; } int query(int u,int v,int l,int r,int k) { int mid=(l+r)/2; int x=sum[ls[v]]-sum[ls[u]]; if(l==r) return l; if(k<=x) return query(ls[u],ls[v],l,mid,k); else return query(rs[u],rs[v],mid+1,r,k-x); } signed main() { read(n),read(m); for(int i=1;i<=n;i++) { read(a[i]); } memcpy(ins,a,sizeof(ins)); sort(ins+1,ins+n+1); len=unique(ins+1,ins+n+1)-ins-1; rt[0]=build(1,len); for(int i=1;i<=n;i++) { rt[i]=update(getid(a[i]),1,len,rt[i-1]); } while(m--) { int l,r,k; read(l),read(r),read(k); printf("%lld\n",ins[query(rt[l-1],rt[r],1,len,k)]); } return 0; }Warning:
ls[],rs[],sum[]等数组都要乘上 \(2^5\) 。- 离散化取
lower_bound时，是最后减去0开头的地址，而不是1开头的地址。（即是lower_bound(ins+1,ins+n+1,x)-ins，而不是lower_bound(ins+1,ins+n+1,x)-ins-1） - 查询时递归右子树时查找第 \(k-|Son_{left}|\) 小，而不是 \(k\) 小。
静态区间互异的个数（SP3267 DQUERY - D-query）
Description:
给定数列 \(\{a_n\}\) ,求闭区间 \([l,r]\) 的互异的个数。
Method:
扫描序列建立可持续化线段树，若此元素是第一次出现，就将对应的线段树中的位置加1；反之，就将上一个出现的元素对应的线段树中的位置减1，将此元素对应的线段树中的位置加1。
对于查询的 \([l,r]\) ，在第 \(r\) 个版本的线段树上查询位置 \(l\) ,对经过的区间中的和累加一下即可。
Code:咕咕咕……
四、扩展
动态区间第K小
Description:
给定数列 \(\{a_n\}\) ，支持两种操作：
- 将 \(pos\) 位置的值改为 \(p\) ；
- 查询闭区间 \([l,r]\) 的第 \(k\) 小值。
Mothod：
考虑树套树（树状数组套主席树）
咕咕咕……
标签：线段,ins,sum,查询,树中,复杂度,主席 来源： https://www.cnblogs.com/nth-element/p/11755820.html
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