首页 > 其他分享> 文章详细

UVA1185 【Big Number】

2019-10-25 15:03:04 阅读：245 来源： 互联网

标签：10 log UVA1185 Big Number leq quad include 式子

第一次写一篇黑题的题解！！~~内心充满激动！~~

首先简述一下蒟蒻做这道题的过程：

这道题要求我们求$n!$的位数，所以蒟蒻首先打一个小小的表：

$1, 1, 1,2, 3, 3, 4 ,5, 6, 7, 8……$

貌似没有什么规律可找$……$

于是蒟蒻~~无耻地~~上了$OEIS$找了一下，发现了这么几个递推式：

$1·\quad a(n) = floor(log(n!)/log(10)) + 1$

这个式子要用到$n!$，所以显然不可用，看下一个。

$2·\quad a(n) = A027869(n) + A079680(n) + A079714(n) + A079684(n) + A079688(n) + A079690(n) + $
$\quad \quad \quad \quad \quad A079691(n) + A079692(n) + A079693(n) + A079694(n);$

解释一下，后面九个数列分别为$n!$中数字$1\sim9$出现的个数，显然这个公式也不太可用，看下一个。

$3·\quad a(n) = A055642(A000142(n)).$

这个式子中，外层为求$n$的位数，内层就是阶乘，所以显然也不可用。

$4·\quad a(n) = ceiling(log10(1) + log10(2) + ... + log10(n))$

等等！！这个式子貌似是$O(n)$的！！

于是，我们就愉快地$A$掉了此题。

但学习需要严谨的态度,所以我们来证明一下这个$O(n)$的式子：

首先，感谢这篇博客提供证明思路。

$P.s.:$以下推导过程均默认$log$的底数为$10$。

对于一个正整数$n$，对于它有$10^{x-1}\leq n<10^x$，那么显然$n$有$x$位。继续向下推导：

\[log(10^{x-1})\leq log(n)<log(10^x)\]

\[x-1\leq log(n)<x\]

由于$c++$默认向下取整，所以$log(n)=x-1$，所以$n$的位数$=log(n)+1$.

所以，我们得出答案式子为$:$

\[ans=log(n!)+1\]

\[\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ =log(1 * 2 * 3 * …… * n) + 1\]

\[\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad=log(1)+log(2)+……+log(n)+1\]

\[\quad\quad\quad= \sum_{i =1}^nlog(i)+1\]

证毕。

所以，我们预处理出$log$的前缀和，向上取整即可。

code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define int long long

int n, temp;
double lg[10000001];

signed main() {
    scanf("%lld", &n);
    for (int i = 1; i <= 10000001; i++)
        lg[i] = lg[i - 1] + log10(i);
    while (n--) {
        scanf("%lld", &temp);
        printf("%lld\n", (long long)lg[temp] + 1);
    }
    return 0;
}

完结撒花(✪ω✪)

标签：10,log,UVA1185,Big,Number,leq,quad,include,式子
来源： https://www.cnblogs.com/Hydrogen-Helium/p/11738036.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

ICode9

UVA1185 【Big Number】