算术基本定理

2019-08-05 11:06:27 阅读：286 来源： 互联网

算术基本定理,又称为正整数的唯一分解定理,即:每个大于1的自然数均可写为质数的积,而且这些素因子按大小排列之后,写法仅有一种方式。

例如：90=2*3^2*5

$N=p1^r1*p2^r2*p3^r3...pn^rn(p1<p2<p3<...<pn)$ （pi是质数且ri>=0）

代码实现：复杂度: $o(sqrt(n))$

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[1000]; 
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	int m=n;
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
	{
		while(n%i==0)
		{
			a[i]++;
			n=n/i;
		}
	}
	if(n>1) a[n]++;
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		if(a[i]) printf("%d %d\n",i,a[i]);
	}
	return 0;
}

求N的因子个数：

根据算术基本原理： $N=p1^r1*p2^r2*p3^r3...pn^rn$

根据排列组合可得：

$ans=(1+r1)*(1+r2)*(1+r3)*....*(1+rn)$

解释：这个式子：例如1+r1 就是p1的选择有0个至r1个，有1+r1种情况，其他的一个道理，最后把它们乘起来，主要是运用了排列组合

例如：20=2^2*5^1

因子个数ans=（1+2）*（1+1）=6（1,2,4,5,10,20）


1 :2^0*5^0;
5 :2^0*5^1;
2 :2^1*5^0;
10:2^1*5^1;
4 :2^2*5^0;
20:2^2*5^1;

排列组合这里需要自己理解一下。

求数N的所有因子之和

根据算术基本原理： $N=p1^r1*p2^r2*p3^r3...pn^rn$

根据积性函数：

等价的式子：

$ans=(1+p1+p1^2+p1^3....+p1^r1)*(1+p2+p2^2+p2^3....+p2^r2)*....*(1+pn+pn^2+pn^3...+pn^rn)$

解释这个式子：其实如果理解了上面的那个N因子的个数的原理这个也就比较容易理解了（看第二个式子吧，第二个比较好理解）

看第二个式子：原理也是排列组合用一个例子来说明吧：

1 :2^0*5^0;
5 :2^0*5^1;
2 :2^1*5^0;
10:2^1*5^1;
4 :2^2*5^0;
20:2^2*5^1;
接着看：(1+2+2^2)*(1+5);
然后： 
      1*1=1
	  1*5=5
	  2*1=2
	  2*5=10
	  2^2*1=4
	  2^2*5=20
	（1,5,2,10,4,20）为因子，然后和就是 1*1 + 1*5 + 2*1 + 2*5 + 2^2*1 + 2^2*5

按照式子理解：

$ans=(1+p1+p1^2+p1^3....+p1^r1)*(1+p2+p2^2+p2^3....+p2^r2)*....*(1+pn+pn^2+pn^3...+pn^rn)$

就是说把这些质因子所得到的所有的因子的和加起来。

从算术基本原理来考虑GCD和LCM

当然这也可以扩展到求N个数的GCD和LCM

标签：基本,10,20,算术,定理,int,因子,排列组合,式子
来源： https://blog.csdn.net/qq_42434171/article/details/98477600

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算术基本定理

求N的因子个数：

求数N的所有因子之和

从算术基本原理来考虑GCD和LCM