判断素数的方法（素数打表）

2019-07-26 14:42:37 阅读：273 来源： 互联网

素数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

1.傻瓜解法

根据素数的定义来尝试这个数是否有除了1和它本身以外的因数。如果有则不是素数，否则该数为素数。

//判断某个数是否为素数 
 int i,n;
 while(scanf("%d",&n)!=EOF)
 { 
     for(i=2;i<n;i++)
     if(n%i==0) break; 
     if(i==n) printf("YES\n");
     else printf("NO\n");
}

2.进阶解法-sqrt

从2到n-1，一个个试实在是太麻烦了。

如果a不是素数；那么a有一个因子b，使得a=b*c; 那么a的因子中（b或c）必定有一个是小于等于a/2的；所以判断的时候不用判断到1-a，只需要2-a/2；所以可以判断到a/2。

如果它不是质数，那么它一定可以表示成两个数（除了1和它本身）相乘，这两个数必然有一个小于等于它的平方根。（为什么？我不知道）。

//判断某个数是否为素数
int i,n,x;
  while(scanf("%d",&n)!=EOF)
  {
    x=(int)sqrt(n);
    for(i=2;i<=x;i++)
         if(n%i==0)    break; 
    if(i>x)    printf("YES\n");
    else           printf("NO\n");
    }

3.普通筛选法--埃拉托斯特尼筛法

从2开始，将每个素数的各个倍数，标记成合数。一个素数的各个倍数，是一个差为此素数本身的等差数列。此为这个筛法和试除法不同的关键之处，试除法是测试每个待测数能否被整除。

实现方法：建立一个bool类型的数组check，一个int类型的数组prime储存素数，先假设所有的数都是素数（初始化为0），从第一个素数2开始，把2的倍数都标记为非素数（check置为1），一直到大于N；然后进行下一趟，找到2后面的下一个素数3，进行同样的处理，直到最后，数组中依然为0的数即为素数。

//求1-n中的所有素数
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXN 100000
#define MAXL 1000000
_Bool check[MAXN];
int prime[MAXL];
int main(void)
{
    int n,count;
    while (~scanf("%d", &n))
    {
        count = 0;
        memset(check, 0, sizeof(check));
        for (int i = 2; i <= n; i++)
        {
            if (!check[i]) {//i为素数
                prime[count++] = i;
//这里有一个小优化，j 从 i * i 而不是从 i + i开始，因为 i*(2~ i-1)在 2~i-1时都已经被筛去，所以从i * i开始。
                for (int j = i * i; j <= n; j += i)
                    check[j] = 1;//将i的倍数标记为合数
            }
        }
        for (int i = 0; i < count; i++)
            printf("%d\n", prime[i]);
    }
    return 0;
}

j从i*i开始：例如3要从3*3开始，因为3*2已经被2*3筛选过了，同理如果为5，会发现5*2,*3,*4都已经被前面的数所筛选过。2*5，3*5，2*2*10。

埃拉托斯特尼筛法虽然已经将时间复杂度降低到O(nloglogn)，但是还是有不足之处。
对于一个合数，有可能被筛多次。例如 30 = 2 * 15 = 3 * 10 = 5*6……那么如何确保每个合数只被筛选一次呢？我们只要用它的最小质因子来筛选即可，这便是欧拉筛法。

4.线性筛选法——欧拉筛法

欧拉筛法不是用i的倍数来消去合数，而是使用 prime里面纪录的素数相乘来消去合数，即都与素数相乘。时间复杂度降低到O(n)。

//求1-n中的所有素数
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXN 100000
#define MAXL 1000000
int prime[MAXN];
_Bool check[MAXL];
 
int main(void)
{
    int n, count;
    while (~scanf("%d", &n))
    {
        memset(check, 0, sizeof(check));
        count = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++)
        {
            if (!check[i])
                prime[count++] = i;
            for (int j = 0; j < count; j++)
            {
                if (i*prime[j] > MAXL)
                    break; // 过大的时候跳出
                check[i*prime[j]] = 1;//相乘的为已经记录过的素数
                if ((i%prime[j]) == 0) // 如果i是一个合数，而且i % prime[j] == 0
                    break; 
            }
        }
        for (int i = 0; i < count; i++)
            printf("%d\n", prime[i]);
    }
    return 0;
}

对于 i%prime[j] == 0 就break的解释：当 i是prime[j]的倍数时，i = k*prime[j]，如果继续运算 j+1，i * prime[j+1] = prime[j] * k* prime[j+1]，这里prime[j]是最小的素因子，当i = k * prime[j+1]时会重复，所以才跳出循环。
举个例子：i = 8 ，j = 1，prime[j] = 2，如果不跳出循环，prime[j+1] = 3，8 * 3 = 2 * 4 * 3 = 2 * 12，在i = 12时会计算。因为欧拉筛法的原理便是通过最小素因子来消除。

标签：prime,判断,筛法,int,合数,素数,打表,check
来源： https://blog.csdn.net/Afra_bd/article/details/97383924