三角形的垂心

2019-07-20 17:51:11 阅读：419 来源： 互联网

垂心的概念
1. 三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心
垂心的性质
1. 必然存在
  1. 证明
    1. 如图，由同侧角相等判定$A,B,E,D$四点共圆，则$\angle ABD=\angle AED$
    2. 同理，$\angle ACF=\angle AED$
    3. 由中间的斜八字型得$\angle AFC=\angle BDC=90^{\circ}$
2. 基本性质
  1. 三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边
    1. 证明：由定义得
  2. 三角形的垂心与三个顶点构成一个垂心组，即这四点中以任意三点为三角形的顶点，则另一点为这个三角形的垂心
    1. 效果图
    2. 证明
      1. 原三角形的的三边成为了新三角形的边和高，原三角形的高成为了新三角形的边和延长线
      2. 由效果图显然易知
3. 推论
  1. 推论1（设H为$△ABC$的垂心）
    1. 当$△ABC$为锐角三角形时，有
      1. $AB^2-AC^2=HB^2-HC^2，且\angle BHC=\angle ABC+\angle ACB=180°-\angle BAC$
        
        证明
        
        由勾股定理得$AB^2-AC^2=BD^2-CD^2,HB^2-CH^2=BD^2-CD^2$，边的关系得证
        
        $\angle BHC=\angle EHF=180°-\angle BAC$，且$\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°$，显然易证$\angle BHC=\angle ABC+\angle ACB=180°-\angle BAC$
      2. 对于其他两个角同理
    2. 当$△ABC$为钝角三角形时，有
      1. $AB^2-AC^2=HB^2-HC^2，且\angle CHA=\angle ABC$
        
        证明：思想同上
      2. 对于其他两个角同理
  2. 推论2：相似关系
    1. 有3组相似关系，每组有4个，如图展式一组
      1. 由此显然易证$AH \cdot HD=BH \cdot HE=CH\cdot HF$（由比例式得，或由下面的四点共圆证）
  3. 推论3，6组四点共圆（3组对角互补，3组同侧角相等），此处展式2组
  4. 推论4
    1. 点H关于$△ABC$的对称点$H_1,H_2,H_3$均在$△ABC$的外接圆上
      1. 延长CE到G交外接圆于G，要求证HE=EG
      2. 由斜八字得$\angle ACG=\angle ABD$，又由等弦对等角得$\angle ACG=\angle ABG$，则$\angle ABD=\angle ABG$
      3. 由全等得HE=EG
  5. 推论5
    1. $△ABC、△BCH、△ACH、ABH$的外接圆是等圆
      1. 证明：由推论4翻折出来即可

标签：推论,ABC,angle,垂心,180,三角形
来源： https://www.cnblogs.com/guoshaoyang/p/11218554.html

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