标签：m% include lucas 定理 p% ans xp p3807 ll

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3807

题意:求C(n,n+m)%p

思路：这是Lucas模板题，下面就介绍下lucas定理：

lucas定理(大组合数取模)结论:
　　　　　　C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

证明：

前提定理：1.设1<=j<=p-1,都有C(j,p)≡0(mod p)

证明：C(j,p)=p!/(j!*(p-j)!)=(p/j)*  (p-1)!/((j-1)!*((p-1)-(j-1))!=(p/j)*C(j-1,p-1)≡0(mod p)

　　　　2.(1+x)^p=1+C(1,p)x+C(2,p)x²+...+C(p-1,p)x^p-1+x^p≡1+x^p(mod p)(根据定理1得）
　　因为m=(m/p)*p+m%p;(m/p是商，m%p是余数）

      (1+x)^m=(1+x)^m/p*p * (1+x)^m%p≡(1+x^p)^m/p*(1+x)^m%p
两边系数要同余
所以两边xⁿ系数:
C（n，m）≡C(n/p,m/p)*(n%p,m%p)(mod p)

代码求解过程中，不断将C(n/p,m/p)拆分化简，实质是一直在计算C(n%p,m%p)，即：
C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p
等价于C(n,m)%p=C(n/p/p,m/p/p)*C(n/p%p,m/p%p)%p
等价于C(n,m)%p=C(n/p/p/p,m/p/p/p)*C(n/p/p%p,m/p/p%p)%p
等价于…
直到拆分至m=0，递归完成。

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

ll q_pow(ll a,ll b,ll p)//快速幂用来求逆元 
{
    ll ans=1;
    while(b) 
    {
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%p;
        a=(a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

ll comb(ll a,ll b,ll p)//求组合数 
{
    if(a<b)    return 0;
    if(b==a) return 1;
    if(b>a-b) b=a-b;
    ll ans=1,ca=1,cb=1;
    for(int i=0; i<b; i++) 
    {
        ca=(ca*(a-i))%p;
        cb=(cb*(b-i))%p;
    }
    ans=(ca*q_pow(cb,p-2,p))%p;
    return ans;
}

ll lucas(ll a,ll b,ll p)//lucas 
{
    ll ans=1;
    while(a&&b&&ans) 
    {
        ans=(ans*comb(a%p,b%p,p))%p;
        a/=p;
        b/=p;
    }
    return ans%p;
}

int main() 
{
    ll t,n,m,p;
    cin>>t;
    while(t--) 
    {
        cin>>n>>m>>p;
        cout<<lucas(n+m,n,p)<<endl;
    }
    return 0;
}

标签：m%,include,lucas,定理,p%,ans,xp,p3807,ll
来源： https://www.cnblogs.com/xiongtao/p/10839947.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。